Петя на доске записал число 6454875813. Он долго считал и понял, что оно делится на 3. Учитель стёр случайную цифру. Какова вероятность, что число Пети все ещё делится на 3?

Question 1

Задача Задача №1661392

А

Аноним

29 сентября 2024 10:10 · публичный вопрос

А

Аноним 29 сентября 2024 10:10

Петя на доске записал число 6454875813. Он долго считал и понял, что оно делится на 3. Учитель стёр случайную цифру. Какова вероятность, что число Пети все ещё делится на 3?

Answer

Чтобы определить вероятность того, что число все еще делится на 3 после стирания одной случайной цифры, давайте вспомним правило делимости на 3: число делится на 3 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 3.

В данном случае, сначала найдем сумму цифр числа 6454875813:

6 + 4 + 5 + 4 + 8 + 7 + 5 + 8 + 1 + 3 = 57

Сумма цифр 57 делится на 3, следовательно, исходное число делится на 3.

Теперь рассмотрим ситуацию, когда учитель стирает одну цифру. Всего у числа 6454875813 10 цифр. Теперь нам нужно понять, влияет ли стирание каждой из цифр на делимость оставшегося числа на 3.

Если стираем цифру, сумма остальных цифр будет равна 57 минус значение удаленной цифры.
Остальное число будет делиться на 3, если (57 - удаленная цифра) делится на 3.

Проверим, какие цифры могут быть удалены. Так как 57 делится на 3, с удалением цифры \(d\) (где \(d\) - любая из цифр 0-9) оставшееся число будет делиться на 3, если \(d \mod 3 = 0\).

Цифры числа 6454875813, которые нужно проверить по модулю 3, это:

6 mod 3 = 0
4 mod 3 = 1
5 mod 3 = 2
4 mod 3 = 1
8 mod 3 = 2
7 mod 3 = 1
5 mod 3 = 2
8 mod 3 = 2
1 mod 3 = 1
3 mod 3 = 0

Таким образом, цифры 6 и 3, которые удаляются, оставляют сумму, которая делится на 3. Остальные цифры (4, 5, 8, 7, 1) повлияют на делимость числа на 3, поскольку удаление одной из них приведет к сумме, которая не будет делиться на 3.

Теперь подсчитаем вероятность. Из 10 цифр:

2 цифры (6 и 3) приведут к тому, что число останется делиться на 3.
8 цифр (4, 5, 4, 8, 7, 5, 8, 1) приведут к тому, что число перестанет делиться на 3.

Вероятность того, что-number остался делящимся на 3, будет равна:

\[ P = \frac{число подходящих вариантов}{общее количество вариантов} = \frac{2}{10} = \frac{1}{5} \]

Таким образом, вероятность того, что число Пети все еще делится на 3 после удаления одной случайной цифры, составляет \(\frac{1}{5}\) или 20%.

Question 2

Петя на доске записал число 6454875813. Он долго считал и понял, что оно делится на 3. Учитель стёр случайную цифру. Какова вероятность, что число Пети все ещё делится на 3?

Answer

Чтобы определить вероятность того, что число все еще делится на 3 после стирания одной случайной цифры, давайте вспомним правило делимости на 3: число делится на 3 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 3. В данном случае, сначала найдем сумму цифр числа 6454875813: 6 + 4 + 5 + 4 + 8 + 7 + 5 + 8 + 1 + 3 = 57 Сумма цифр 57 делится на 3, следовательно, исходное число делится на 3. Теперь рассмотрим ситуацию, когда учитель стирает одну цифру. Всего у числа 6454875813 10 цифр. Теперь нам нужно понять, влияет ли стирание каждой из цифр на делимость оставшегося числа на 3. 1. Если стираем цифру, сумма остальных цифр будет равна 57 минус значение удаленной цифры. 2. Остальное число будет делиться на 3, если (57 - удаленная цифра) делится на 3. Проверим, какие цифры могут быть удалены. Так как 57 делится на 3, с удалением цифры \(d\) (где \(d\) - любая из цифр 0-9) оставшееся число будет делиться на 3, если \(d \mod 3 = 0\). Цифры числа 6454875813, которые нужно проверить по модулю 3, это: - 6 mod 3 = 0 - 4 mod 3 = 1 - 5 mod 3 = 2 - 4 mod 3 = 1 - 8 mod 3 = 2 - 7 mod 3 = 1 - 5 mod 3 = 2 - 8 mod 3 = 2 - 1 mod 3 = 1 - 3 mod 3 = 0 Таким образом, цифры 6 и 3, которые удаляются, оставляют сумму, которая делится на 3. Остальные цифры (4, 5, 8, 7, 1) повлияют на делимость числа на 3, поскольку удаление одной из них приведет к сумме, которая не будет делиться на 3. Теперь подсчитаем вероятность. Из 10 цифр: - 2 цифры (6 и 3) приведут к тому, что число останется делиться на 3. - 8 цифр (4, 5, 4, 8, 7, 5, 8, 1) приведут к тому, что число перестанет делиться на 3. Вероятность того, что-number остался делящимся на 3, будет равна: \[ P = \frac{число подходящих вариантов}{общее количество вариантов} = \frac{2}{10} = \frac{1}{5} \] Таким образом, вероятность того, что число Пети все еще делится на 3 после удаления одной случайной цифры, составляет \(\frac{1}{5}\) или 20%.