Напишите все формулы производных с примерами

Конечно! Производные являются важной частью математического анализа, и знание основных формул и правил их вычисления поможет вам успешно решать задачи. Вот основные формулы производных с примерами:

1. Производная константы: \[ \frac{d}{dx}(c) = 0 \] Пример: \(\frac{d}{dx}(5) = 0\)

2. Производная степени: \[ \frac{d}{dx}(x^n) = nx^{n-1} \] Пример: \(\frac{d}{dx}(x^3) = 3x^2\)

3. Производная суммы: \[ \frac{d}{dx}(f(x) + g(x)) = f'(x) + g'(x) \] Пример: \(\frac{d}{dx}(x^2 + 3x) = 2x + 3\)

4. Производная разности: \[ \frac{d}{dx}(f(x) - g(x)) = f'(x) - g'(x) \] Пример: \(\frac{d}{dx}(5x^2 - 2x) = 10x - 2\)

5. Производная произведения (правило Лейбница): \[ \frac{d}{dx}(f(x)g(x)) = f'(x)g(x) + f(x)g'(x) \] Пример: \(\frac{d}{dx}(x^2 \cdot \sin(x)) = 2x \cdot \sin(x) + x^2 \cdot \cos(x)\)

6. Производная частного (правило частного): \[ \frac{d}{dx}\left(\frac{f(x)}{g(x)}\right) = \frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{(g(x))^2} \] Пример: \(\frac{d}{dx}\left(\frac{x^2}{x+1}\right) = \frac{(2x)(x+1) - (x^2)(1)}{(x+1)^2}\)

7. Производная тригонометрических функций:

   • \(\frac{d}{dx}(\sin x) = \cos x\)
   • \(\frac{d}{dx}(\cos x) = -\sin x\)
   • \(\frac{d}{dx}(\tan x) = \sec^2 x\)

   Пример: \(\frac{d}{dx}(\sin x) = \cos x\)

8. Производная экспоненты: \[ \frac{d}{dx}(e^x) = e^x \] Пример: \(\frac{d}{dx}(e^x) = e^x\)

9. Производная логарифма: \[ \frac{d}{dx}(\ln x) = \frac{1}{x} \] Пример: \(\frac{d}{dx}(\ln x) = \frac{1}{x}\)

Это основные правила и формулы, которые пригодятся для работы с производными. Если у вас есть конкретные задачи или дополнительные вопросы, не стесняйтесь спрашивать!