Планета Плюс имеет ту же плотность, что и Земля, но еë радиус вдвое больше. Чему равно ускорение свободного падения на поверхность планеты Плюс?

Для решения задачи о планете Плюс, мы можем использовать закон всемирного тяготения и формулу для ускорения свободного падения на поверхности планеты.

Ускорение свободного падения \( g \) на поверхности планеты определяется по формуле:

\[ g = \frac{G \cdot M}{R^2} \]

где:

• \( G \) — гравитационная постоянная,
• \( M \) — масса планеты,
• \( R \) — радиус планеты.

Ваша планета Плюс имеет радиус вдвое больший, чем Земля (\( R_{Плюс} = 2R_{Земля} \)). Плотность планеты Плюс такая же, как и у Земли, что означает, что:

\[ \rho_{Плюс} = \rho_{Земля} \]

Плотность (\( \rho \)) определяется как масса (\( M \)) деленная на объем (\( V \)):

\[ \rho = \frac{M}{V} \]

Объем сферы рассчитывается по формуле:

\[ V = \frac{4}{3} \pi R^3 \]

Теперь можно выразить массу планеты Плюс через ее плотность и объем:

\[ M_{Плюс} = \rho_{Плюс} \cdot V_{Плюс} = \rho_{Земля} \cdot \frac{4}{3} \pi (2R_{Земля})^3 \]

Раскроем объем:

\[ V_{Плюс} = \frac{4}{3} \pi (2R_{Земля})^3 = \frac{4}{3} \pi (8R_{Земля}^3) = \frac{32}{3} \pi R_{Земля}^3 \]

Теперь подставим массу в формулу для ускорения свободного падения:

\[ M_{Плюс} = \rho_{Земля} \cdot \frac{32}{3} \pi R_{Земля}^3 \]

Таким образом, подставляем это в формулу для \( g_{Плюс} \):

\[ g_{Плюс} = \frac{G \cdot M_{Плюс}}{(2R_{Земля})^2} \]

Теперь можно выразить это в терминах величин для Земли:

\[ g_{Плюс} = \frac{G \cdot \left(\rho_{Земля} \cdot \frac{32}{3} \pi R_{Земля}^3\right)}{(4 R_{Земля}^2)} \]

Сократим полученное:

\[ g_{Плюс} = \frac{G \cdot \rho_{Земля} \cdot \frac{32}{3} \pi R_{Земля}^3}{4 R_{Земля}^2} \]

\[ g_{Плюс} = \frac{G \cdot \rho_{Земля} \cdot 8 \pi R_{Земля}}{3} \]

Теперь, как мы знаем:

\[ g_{Земля} = \frac{G \cdot M_{Земля}}{R_{Земля}^2} \]

Мы также можем выразить массу Земли через плотность:

\[ M_{Земля} = \rho_{Земля} \cdot \frac{4}{3} \pi R_{Земля}^3 \]

Теперь, уравняв результаты, мы получаем, что ускорение свободного падения на планете Плюс будет:

\[ g_{Плюс} = \frac{g_{Земля}}{4} \]

Так как плотности равны, мы можем просто сказать, что:

\[ g_{Плюс} = \frac{g_{Земля}}{4} \]

Где \( g_{Земля} \) примерно равно \( 9.81 \, м/с^2 \). Таким образом, мы получаем:

\[ g_{Плюс} \approx \frac{9.81}{4} \approx 2.45 \, м/с^2 \]

Следовательно, ускорение свободного падения на поверхности планеты Плюс составляет примерно \( 2.45 \, м/с^2 \).