Мальчик Петя стоит между деревнями А и В, соединенными дорогой, на расстоянии 10 км от деревни А. За ним из деревни А вышел папа со скоростью 2 км/ч, а из деревни В на велосипеде выехала мама со скоростью 12 км/ч. Одновременно с родителями движение начал Петя, всегда двигаясь навстречу тому из них, кто находится ближе. Через 1,5 часа он впервые дошел до одного из родителей. Известно, что скорость Пети 3 км/ч и он поменял направление ровно один раз. Найдите расстояние между деревнями.

Для решения этой задачи давайте обозначим расстояние между деревнями А и В как \(d\) км. Петя находится на расстоянии 10 км от деревни А.

1. Определим позиции родителей:

   • Папа начинает движение из деревни А со скоростью 2 км/ч. После 1,5 часов он пройдет: \[ 2 \, \text{км/ч} \times 1,5 \, \text{ч} = 3 \, \text{км}. \] Таким образом, после 1,5 часов папа будет на расстоянии: \[ 10 \, \text{км} - 3 \, \text{км} = 7 \, \text{км} \] от деревни А.

   • Мама начинает движение из деревни В со скоростью 12 км/ч. За 1,5 часа она пройдет: \[ 12 \, \text{км/ч} \times 1,5 \, \text{ч} = 18 \, \text{км}. \] Мама, соответственно, будет находиться на \(d - 18\) км от деревни А.

2. Определим, к кому из родителей движется Петя: Так как Петя движется к тому родителю, который ближе, то мы сравним расстояния:

   • Расстояние до папы: 7 км.
   • Расстояние до мамы: \(d - 18\) км.

   Петя начнет движение к папе, если \(7 < d - 18\), что приводит к неравенству: \[ d > 25. \] Если \(d \leq 25\), он движется к маме.

3. Определим, кто из родителей будет встречен первым: В этом случае необходимо определить расстояние, по которому Петя сможет дойти до своего родителя.

   • Если \(d > 25\), Петя за 1,5 часа успел бы встретиться с папой (он движется к папе) на расстоянии 4,5 км: \[ 3 \, \text{км/ч} \times 1,5 \, \text{ч} = 4,5 \, \text{км}. \] То есть Петя пройдет 4,5 км, и удалится от стартовой позиции на 10 км - 4,5 км = 5,5 км до папы, значит, он рано встречает папу.

4. Обобщение результатов: Теперь проверим, сколько мама могла бы пройти: Она была на расстоянии \(d - 18\) км, и за то же время она успела проехать 18 км. Если она находит на расстоянии 25 км, тогда Петя дошел до папы, как было упомянуто выше.

Таким образом, исходя из всех вычислений, расстояние между деревнями А и В составляет \(d = 25\) км.