6. (3 балла) в выпуклом четырёхугольнике abcd проведены диагонали. известно, что площади треугольников abd, acd, bcd равны. 1) докажите, что данный четырёхугольник является параллелограммом. 2) найдите площадь параллелограмма abcd, если его стороны равны 8 см и 12 см, а сумма двух его высот, проведенных из одной вершины, равна 15 см.

1. Чтобы доказать, что выпуклый четырехугольник ABCD является параллелограммом, воспользуемся свойством площадей треугольников. Обозначим площади треугольников следующими значениями:

• Площадь треугольника ABD обозначим как S_1,
• Площадь треугольника ACD обозначим как S_2,
• Площадь треугольника BCD обозначим как S_3.

По условию задачи, S_1 = S_2 = S_3. Кроме того, площадь всего четырехугольника ABCD равна сумме площадей этих треугольников:

S_ABCD = S_1 + S_2 + S_3 = S_1 + S_1 + S_1 = 3S_1.

Теперь обратим внимание на свойства параллелограмма. В параллелограмме диагонали делятся пополам, что значит, что вершины A и C симметричны относительно точки пересечения диагоналей, так же как и вершины B и D. Если площади треугольников, образованных диагоналями, равны, это означает, что наши треугольники ABD и ACD имеют одинаковые основания и высоты, следовательно, они равны. Аналогично, треугольники BCD и ABD тоже равны. Это подтверждает, что ABCD является параллелограммом, так как у него параллельные стороны имеют равные длины.

2. Теперь рассчитаем площадь параллелограмма ABCD, зная, что длины его сторон равны 8 см и 12 см, а сумма двух высот из одной вершины равна 15 см. Площадь параллелограмма можно вычислить по следующей формуле:

S = a * h,

где a — длина основания, а h — высота, соответствующая этому основанию. Поскольку у нас есть две стороны, 8 см и 12 см, предположим, что длина одной стороны основание равна 12 см, а высота, соответствующая ему, будет h1, а высота, соответствующая другой стороне (8 см), будет h2.

Тогда по условию задачи:

h1 + h2 = 15 см.

Площадь параллелограмма будет равна:

S = 12 * h1 = 8 * h2.

Теперь подставим h2 через h1 из уравнения:

h2 = 15 - h1.

Теперь, подставляем это значение в формулу площади:

S = 8 * (15 - h1).

Теперь у нас есть два выражения для площади:

12 * h1 = 8 * (15 - h1).

Раскроем скобки и упростим уравнение:

12h1 = 120 - 8h1, 20h1 = 120, h1 = 6 см.

Теперь подставим значение h1 обратно для вычисления h2:

h2 = 15 - h1 = 15 - 6 = 9 см.

Теперь можем найти площадь параллелограмма, подставив h1 в формулу площади:

S = 12 * h1 = 12 * 6 = 72 см².

Таким образом, площадь параллелограмма ABCD составляет 72 см².