Известно что уравнение x в квадрате плюс (p+3)x+3/4q=0 не имеет решений а 3/4x в квадрате +qx-(p+3)=0 имеет два корня Найдите наименьшее целое значение выражения p+q если p меньше q

Для начала давайте разберём условия задачи.

1. Уравнение \( x^2 + (p + 3)x + \frac{3}{4}q = 0 \) не имеет решений. Это означает, что его дискриминант \( D_1 \) должен быть отрицателен:

\[ D_1 = (p + 3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot \frac{3}{4}q < 0 \] \[ (p + 3)^2 < 3q \]

2. Уравнение \( \frac{3}{4}x^2 + qx - (p + 3) = 0 \) имеет два корня, то есть его дискриминант \( D_2 \) должен быть положителен:

\[ D_2 = q^2 - 4 \cdot \frac{3}{4} \cdot (-(p + 3)) > 0 \] \[ D_2 = q^2 + 3(p + 3) > 0 \]

Теперь у нас есть две неравенства:

1. \( (p + 3)^2 < 3q \)
2. \( q^2 + 3(p + 3) > 0 \)

Теперь давайте проанализируем эти неравенства.

Из первого неравенства \( (p + 3)^2 < 3q \):

\[ q > \frac{(p + 3)^2}{3} \]

Из второго неравенства \( q^2 + 3(p + 3) > 0 \):

Это неравенство всегда выполняется, если \( q \) достаточно велико. Более строгих требований на \( q \) здесь не устанавливается.

Теперь нам нужно найти наименьшее целое значение выражения \( p + q \), при условии, что \( p < q \).

Рассмотрим \( p \) и \( q \). Перепишем неравенства:

1. \( q > \frac{(p + 3)^2}{3} \)
2. \( q > -\sqrt{3(p + 3)} \) и \( q > \sqrt{3(p + 3)} \) (второе неравенство можно упростить, если оно выполнено)

Чтобы найти наименьшие значения \( p \) и \( q \), подберем целые значения, начиная с минимально возможных для анализа.

Для \( p = -2 \):

1. \( (p + 3)^2 = 1 \) \[ 3q > 1 \Rightarrow q > \frac{1}{3} \Rightarrow q \geq 1 \]

Если \( q = 1 \): \[ p + q = -2 + 1 = -1 \quad \text{(не выполняется, так как } p \not< q\text{)} \]

Если \( q = 2 \): \[ p + q = -2 + 2 = 0 \quad \text{(выполняется, так как } -2 < 2\text{)} \]

Теперь проверим:

• \( (p + 3)^2 = 1 \) и \( 3q = 6 \Rightarrow 1 < 6 \)
• \( q^2 + 3(p + 3) = 2^2 + 3(1) = 4 + 3 = 7 > 0 \)

Следовательно:

• При \( p = -2 \) и \( q = 2 \) оба условия выполняются.

Таким образом, наименьшее целое значение выражения \( p + q \), при условии, что \( p < q \), составляет \( 0 \).