Докажите что при любом z квадратный трехчлен: а) z²-8z+19 принимает положительные значения б) -z²+10z-29 принимает отрицательные значения

Давайте рассмотрим каждый из предложенных квадратичных трехчленов по отдельности.

а) Для того чтобы доказать, что \( z^2 - 8z + 19 \) принимает положительные значения при любом \( z \), нам нужно проверить его дискриминант (D). Дискриминант для квадратичного уравнения в форме \( ax^2 + bx + c \) рассчитывается по формуле:

\[ D = b^2 - 4ac \]

В данном случае \( a = 1 \), \( b = -8 \), \( c = 19 \). Подставим значения:

\[ D = (-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 19 = 64 - 76 = -12 \]

Поскольку дискриминант отрицательный (\( D < 0 \)), это означает, что уравнение \( z^2 - 8z + 19 = 0 \) не имеет действительных корней. Следовательно, парабола, описываемая этим трехчленом, открыта вверх (так как \( a > 0 \)) и не пересекает ось абсцисс. Это означает, что \( z^2 - 8z + 19 > 0 \) для любого значения \( z \).

б) Теперь рассмотрим второй трехчлен: \( -z^2 + 10z - 29 \). Для него также найдем дискриминант:

Здесь \( a = -1 \), \( b = 10 \), \( c = -29 \). Подставим значения в формулу для дискриминанта:

\[ D = 10^2 - 4 \cdot (-1) \cdot (-29) = 100 - 116 = -16 \]

Как и в предыдущем примере, дискриминант также отрицательный (\( D < 0 \)). Это означает, что уравнение \( -z^2 + 10z - 29 = 0 \) также не имеет действительных корней. Парабола, описываемая этим трехчленом, открыта вниз (так как \( a < 0 \)) и не пересекает ось абсцисс. Таким образом, \( -z^2 + 10z - 29 < 0 \) для любого значения \( z \).

В итоге, мы доказали оба утверждения: а) \( z^2 - 8z + 19 > 0 \) для любого \( z \), б) \( -z^2 + 10z - 29 < 0 \) для любого \( z \).