При каком значении b квадратный трехчлен: а) b²+16b+68 принимает наименьшее значение б) -b²-4b-9 принимает наибольшее значение

Чтобы найти значение параметра \( b \) для каждого из квадратичных трёхчленов, воспользуемся свойствами парабол и формулами для определения координаты вершины параболы.

а) Рассмотрим трёхчлен \( b^2 + 16b + 68 \). Это парабола, открывающаяся вверх (поскольку перед \( b^2 \) стоит плюс).

Координаты вершины параболы могут быть найдены по формуле:
\[ b = -\frac{B}{2A} \] где \( A = 1 \) (коэффициент при \( b^2 \)) и \( B = 16 \) (коэффициент при \( b \)). Подставим значения:

\[ b = -\frac{16}{2 \cdot 1} = -\frac{16}{2} = -8 \]

Таким образом, для того чтобы трёхчлен \( b^2 + 16b + 68 \) принимал наименьшее значение, ему необходимо значение \( b = -8 \).

б) Теперь рассмотрим трёхчлен \( -b^2 - 4b - 9 \). Это парабола, открывающаяся вниз (поскольку перед \( b^2 \) стоит минус).

Для нахождения максимального значения используем ту же формулу для координаты вершины:

\[ b = -\frac{B}{2A} \] где \( A = -1 \) и \( B = -4 \). Подставим значения:

\[ b = -\frac{-4}{2 \cdot -1} = \frac{4}{-2} = -2 \]

Таким образом, для того чтобы трёхчлен \( -b^2 - 4b - 9 \) принимал наибольшее значение, ему необходимо значение \( b = -2 \).

В итоге, значения \( b \) для обоих трёхчленов: а) \( b = -8 \) для наименьшего значения \( b^2 + 16b + 68 \)
б) \( b = -2 \) для наибольшего значения \( -b^2 - 4b - 9 \)