Выполнить деление многочленов по схеме горнера: (3x⁵ + 3x⁴ + x³ - X - 2 ): (X + 1)

Чтобы выполнить деление многочлена \(3x^5 + 3x^4 + x^3 - x - 2\) на \(x + 1\) по схеме Горнера, следуйте этим шагам.

Схема Горнера заключается в том, чтобы взять коэффициенты делимого многочлена и поочередно производить деление. Для начала запишем коэффициенты многочлена:

Коэффициенты: \(3, 3, 1, -1, -2\)

1. Запишем число, которое мы будем подставлять (в данном случае для \(x + 1\) это \(-1\)), и коэффициенты рядом с ним: \[ \begin{array}{r|rrrrrr} -1 & 3 & 3 & 1 & -1 & -2 \\ & & & & & \\ \end{array} \]

2. Теперь начнём выполнять деление. Переносим первый коэффициент вниз: \[ \begin{array}{r|rrrrrr} -1 & 3 & 3 & 1 & -1 & -2 \\ & & & & & \\ & 3 & & & & \\ \end{array} \]

3. Умножаем \(-1\) на \(3\) и записываем результат под следующим коэффициентом: \[ \begin{array}{r|rrrrrr} -1 & 3 & 3 & 1 & -1 & -2 \\ & & -3 & & & \\ & 3 & & & & \\ \end{array} \]

4. Складываем второй коэффициент с записанным результатом: \[ 3 - 3 = 0 \] Записываем это: \[ \begin{array}{r|rrrrrr} -1 & 3 & 3 & 1 & -1 & -2 \\ & & -3 & & & \\ & 3 & 0 & & & \\ \end{array} \]

5. Повторяем процесс: умножаем \(-1\) на \(0\): \[ 0 \rightarrow 0 \] Итак, у нас: \[ \begin{array}{r|rrrrrr} -1 & 3 & 3 & 1 & -1 & -2 \\ & & -3 & 0 & & \\ & 3 & 0 & 1 & & \\ \end{array} \]

6. Теперь умножаем \(-1\) на \(1\): \[ -1 \] Складываем: \[ -1 - 1 = -2 \] Обновляем значения: \[ \begin{array}{r|rrrrrr} -1 & 3 & 3 & 1 & -1 & -2 \\ & & -3 & 0 & -1 & \\ & 3 & 0 & 1 & -2 & \\ \end{array} \]

7. Последний шаг: умножаем \(-1\) на \(-2\): \[ 2 \] Складываем итоговые значения: \[ -2 + 2 = 0 \]

Теперь у нас результаты деления. Остаток равен 0, это значит, что \(x + 1\) является делителем. Краткое записанное выражение — это коэффициенты, полученные в процессе:

Итак, результат деления: \[ 3x^4 + 0x^3 + 1x^2 - 1x + 0 \] Или, упрощенно: \[ 3x^4 + x^2 - 1 \]

Таким образом, деление \(3x^5 + 3x^4 + x^3 - x - 2\) на \(x + 1\) дает результат \(3x^4 + x^2 - 1\) с остатком 0.