Катер прошёл 3 км против течения реки и 7 км по течению. при этом он затратил столько времени, сколько ему потребовалось бы, если бы он шёл 10км по озеру. какова собственная скорость катера, если известно, что скорость 2 км/ч

Давайте разберём вашу задачу шаг за шагом.

Обозначим:

• \( v \) — собственная скорость катера (км/ч), которую нужно найти.
• \( v_r = 2 \) км/ч — скорость течения реки.

Согласно условию, катер прошёл 3 км против течения и 7 км по течению. Время, затраченное на каждую часть пути, можно выразить через собственную скорость катера и скорость течения:

1. Против течения: Время, затраченное на путь против течения: \[ t_1 = \frac{3}{v - v_r} \]

2. По течению: Время, затраченное на путь по течению: \[ t_2 = \frac{7}{v + v_r} \]

Общее время, затраченное катером, будет равно: \[ t_{total} = t_1 + t_2 = \frac{3}{v - 2} + \frac{7}{v + 2} \]

Согласно условию задачи, это время равно времени, затраченному на преодоление 10 км по озеру, где скорость катера равна его собственной скорости \( v \): \[ t_{ozero} = \frac{10}{v} \]

Теперь мы можем поставить равенство: \[ \frac{3}{v - 2} + \frac{7}{v + 2} = \frac{10}{v} \]

Теперь давайте решим это уравнение. Умножим обе стороны уравнения на \( v(v - 2)(v + 2) \) для избавления от дробей:

\[ 3v(v + 2) + 7v(v - 2) = 10(v - 2)(v + 2) \]

Раскроем скобки:

1. Левую часть: \[ 3v^2 + 6v + 7v^2 - 14v = 10v^2 - 40 \] Объединив подобные члены: \[ 10v^2 - 8v \]

2. Правую часть: \[ 10(v^2 - 4) = 10v^2 - 40 \]

Теперь у нас есть уравнение: \[ 10v^2 - 8v = 10v^2 - 40 \]

Сокращаем \( 10v^2 \): \[ -8v = -40 \] \[ v = 5 \]

Таким образом, собственная скорость катера составляет 5 км/ч.