Бічна сторона рівнобедреного трикутника ділиться точкою дотику вписаного кола у відношенні 2 : 3, рахуючи від вершини кута при основі трикутника. Знайдіть основу трикутника, якщо його бічна сторона дорівнює 15 см. 5. У прямокутному трикутнику точка дотику вписаного кола ділить гіпотенузу на відрізки 3 см і 10см. Знайдіть радіус кола , якщо периметр трикутника дорівнює 30 см. І намалюй це з повним розв'язком

Задача 1

Условие: Бічна сторона рівнобедреного трикутника ділиться точкою дотику вписаного кола у відношенні 2 : 3, рахуючи від вершини кута при основі трикутника. Знайдіть основу трикутника, якщо його бічна сторона дорівнює 15 см.

Розв'язок:

1. Нехай бічна сторона трикутника, яка дорівнює 15 см, буде позначена як \( AB = AC = 15 \) см.

2. Позначимо точку дотику кола з бічною стороною \( AB \) як \( D \), а з бічною стороною \( AC \) як \( E \).

3. Відношення відрізків буде: \( AD : DB = 2 : 3 \). Нехай \( AD = 2x \) см, а \( DB = 3x \) см.

4. Тоді вся бічна сторона дорівнює: \[ AD + DB = 2x + 3x = 5x. \] Відомо, що \( 5x = 15 \) см, отже: \[ x = 3 \text{ см}. \] Таким чином, \( AD = 2x = 6 \) см, а \( DB = 3x = 9 \) см.

5. Основа трикутника \( BC \) дорівнює сумі відрізків \( AD \) та \( DB \): \[ BC = AD + DB = 6 + 9 = 15 \text{ см}. \]

Відповідь: Основа трикутника дорівнює 15 см.

Задача 2

Условие: У прямокутному трикутнику точка дотику вписаного кола ділить гіпотенузу на відрізки 3 см і 10 см. Знайдіть радіус кола, якщо периметр трикутника дорівнює 30 см.

Розв'язок:

1. Нехай \( a = 3 \) см і \( b = 10 \) см — це два відрізки гіпотенузи.

2. Довжина гіпотенузи \( c = a + b = 3 + 10 = 13 \) см.

3. Позначимо сторони трикутника, що прилеглі до кута в 90 градусів, як \( A \) та \( B \). Оскільки в прямокутному трикутнику, аналогічно до відрізків на гіпотенузі, сторони трикутника будуть: \[ A + C = a = 3 \text{ см}, \] \[ B + C = b = 10 \text{ см}, \] де \( C \) — відстань від ділянки дотику до кута.

4. Периметр трикутника: \[ P = A + B + c = 30, \] отже: \[ A + B + 13 = 30. \] Таким чином: \[ A + B = 30 - 13 = 17 \text{ см}. \]

5. Відомо також, що для нахождення радіуса кола \( r \) в прямокутному трикутнику виконується формула: \[ r = \frac{A + B - c}{2}. \]

6. Підставимо значення: \[ r = \frac{17 - 13}{2} = \frac{4}{2} = 2 \text{ см}. \]

Відповідь: Радіус кола дорівнює 2 см.

Намалювати:

При бажанні, можу описати, як намалювати:

1. Для першої задачі: намалюйте рівнобедрений трикутник, позначте вершини \( A \), \( B \) і \( C \). Накресліть висоту \( AD \) та точку дотику \( D \) на бічній стороні та позначте відрізки \( AD \) і \( DB \).
2. Для другої задачі: намалюйте прямокутний трикутник \( ABC \) зі стороною \( c \) як гіпотенузою, відзначте відрізки \( 3 \) см та \( 10 \) см на гіпотенузі, і накресліть коло, дотичне до всіх сторін.

Сподіваюсь, ці пояснення допоможуть вам краще зрозуміти матеріал!