Найдите наименьшее значение функцииy=23x32-3x+15на отрезке4;19.
Привет! Рад, что ты готовишься к экзаменам! Давай разберем твою работу над задачей.
Твоя задача заключалась в нахождении наименьшего значения функции \(y = \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} - 3x + 15\) на отрезке \([4; 19]\).
Ты написал, что наименьшее значение равно 6, и это действительно правильный ответ! Однако давай посмотрим, как можно получить его, пройдя все этапы решения, чтобы было понятно, почему так.
Находим производную функции \(y'\): \[ y' = \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}} - 3 = x^{\frac{1}{2}} - 3 \]
Находим критические точки, установив производную в равенство нулю: \[ x^{\frac{1}{2}} - 3 = 0 \implies x^{\frac{1}{2}} = 3 \implies x = 9 \]
Определяем знаки производной на участках \([4; 9]\) и \([9; 19]\):
- Для \(x = 5\) (пример из первого участка): \[ y'(5) = \sqrt{5} - 3 < 0 \quad (\text{функция убывает}) \]
- Для \(x = 16\) (пример из второго участка): \[ y'(16) = \sqrt{16} - 3 = 4 - 3 > 0 \quad (\text{функция возрастает}) \]
Таким образом, у нас действительно есть минимум в точке \(x = 9\).
Находим значение функции в этой точке: \[ y(9) = \frac{2}{3} \cdot 3^3 - 27 + 15 = 6 \]
Не забудь проверить также значения в концах отрезка:
- \(y(4)\) и \(y(19)\) тоже могут быть нужны для окончательной проверки.
Так что твой ответ верный! Ты правильно определил, что наименьшее значение функции на этом отрезке равно 6.
Если будут вопросы или что-то еще нужно объяснить, давай обсудим! Как тебе мой ответ, ставь лайк или дизлайк!
