Имеется прямоугольник со сторонами 7 и 10 см. Большую его сторону уменьшили на а см, а меньшую увеличили на такое же число сантиметров. При каком значении а площадь полученного прямоугольника окажется наибольшей?

Для того чтобы решить задачу, начнём с определения переменных и формулы для площади прямоугольника.

Обозначим:

• \( a \) — величина, на которую уменьшается большая сторона и соответственно увеличивается меньшая сторона.
• Исходные размеры прямоугольника: большая сторона \( 10 \) см и меньшая сторона \( 7 \) см.

После изменения размеры прямоугольника будут следующими:

• Новая большая сторона: \( 10 - a \) см
• Новая меньшая сторона: \( 7 + a \) см

Теперь найдем площадь \( S \) нового прямоугольника:

\[ S(a) = (10 - a)(7 + a) \]

Раскроем скобки:

\[ S(a) = 70 + 10a - 7a - a^2 = 70 + 3a - a^2 \]

Теперь у нас есть квадратная функция \( S(a) = -a^2 + 3a + 70 \). Чтобы найти значение \( a \), при котором площадь будет максимальной, нужно определить вершину параболы, описывающей эту функцию. Вершина параболы для функции \( ax^2 + bx + c \) находится по формуле:

\[ a_{max} = -\frac{b}{2a} \]

В нашем случае:

• \( a = -1 \)
• \( b = 3 \)

Подставим эти значения в формулу:

\[ a_{max} = -\frac{3}{2 \cdot (-1)} = \frac{3}{2} = 1.5 \]

Теперь проверим, что при \( a = 1.5 \) размеры сторон будут положительными:

• Новая большая сторона: \( 10 - 1.5 = 8.5 \) см
• Новая меньшая сторона: \( 7 + 1.5 = 8.5 \) см

Таким образом, прямоугольник будет квадратом со сторонами 8.5 см, и это не противоречит условиям задачи.

Таким образом, максимальная площадь полученного прямоугольника будет при \( a = 1.5 \) см.