Раил задумал четырёхзначное число. Оно обладает следующими свойствами: 1) Делится без остатка на 5, 2) Цифра сотен в два раза меньше, чем цифра десятков, 3) Сумма первой и последней цифры в 4 раза меньше двузначного числа, образованного второй и третей цифрами задуманного числа 4) Цифра в разряде тысяч больше цифры в разряде сотен на 2. Какое число задумал Раил?

Давайте обозначим четырёхзначное число как \( ABCD \), где \( A \), \( B \), \( C \) и \( D \) — это цифры в разрядах тысяч, сотен, десятков и единиц соответственно.

1. Делится без остатка на 5: Это значит, что \( D \) может быть 0 или 5.

2. Цифра сотен в два раза меньше, чем цифра десятков: \( B = \frac{C}{2} \). Это означает, что \( C \) должна быть чётным числом, так как \( B \) — целое число.

3. Сумма первой и последней цифры в 4 раза меньше двузначного числа, образованного второй и третьей цифрами: Это можно записать как \( A + D = \frac{1}{4} (10B + C) \).

4. Цифра в разряде тысяч больше цифры в разряде сотен на 2: Это можно записать как \( A = B + 2 \).

Теперь давайте решим систему уравнений. Подставляем \( B \) из второго условия в четвёртое условие:

\[ A = \frac{C}{2} + 2 \]

Теперь подставим значения \( B \) и \( A \) в третье условие:

\[ \left(\frac{C}{2} + 2\right) + D = \frac{1}{4} \left(10 \cdot \frac{C}{2} + C\right) \]

Преобразуем:

\[ \frac{C}{2} + 2 + D = \frac{1}{4} \left(5C\right) \] \[ \frac{C}{2} + 2 + D = \frac{5C}{4} \]

Умножим все на 4, чтобы избавиться от дробей:

\[ 2C + 8 + 4D = 5C \]

Переместим всё в одну сторону:

\[ 8 + 4D = 5C - 2C \] \[ 8 + 4D = 3C \]

Теперь у нас есть система уравнений:

1. \( D = 0 \) или \( D = 5 \)
2. \( A = \frac{C}{2} + 2 \)
3. \( 8 + 4D = 3C \)

Теперь рассмотрим случай \( D = 0 \):

\[ 8 + 4 \cdot 0 = 3C \Rightarrow 8 = 3C \Rightarrow C = \frac{8}{3} \text{ (не целое, не годится.)} \]

Теперь рассмотрим случай \( D = 5 \):

\[ 8 + 4 \cdot 5 = 3C \Rightarrow 8 + 20 = 3C \Rightarrow 28 = 3C \Rightarrow C = \frac{28}{3} \text{ (тоже не целое.)} \]

Поэтому попробуем подставить чётные значения \( C \) для проверки (0, 2, 4, 6, 8):

Если \( C = 4 \):

1. \( B = \frac{4}{2} = 2 \)
2. \( A = 2 + 2 = 4 \)

Проверяем:

• \( A + D = 4 + 5 = 9 \)
• \( 10B + C = 10 \cdot 2 + 4 = 24 \)
• \( \frac{1}{4} (10B + C) = 6 \) (не выполняется)

Если \( C = 6 \):

1. \( B = \frac{6}{2} = 3 \)
2. \( A = 3 + 2 = 5 \)

Проверяем:

• \( A + D = 5 + 5 = 10 \)
• \( 10B + C = 10 \cdot 3 + 6 = 36 \)
• \( \frac{1}{4} (10B + C) = 9 \) (выполняется)

Задуманное число:

• \( A = 5, B = 3, C = 6, D = 5 \)

Итак, четырёхзначное число, задуманное Раилом — 5365.