4x²-12x+9 делить на x+5 ≤0
Чтобы решить неравенство \( \frac{4x^2 - 12x + 9}{x + 5} \leq 0 \), начнем с анализа числителя и знаменателя.
Находим корни числителя:
Числитель \( 4x^2 - 12x + 9 \) можно упростить, используя формулу дискриминанта. \[ D = b^2 - 4ac = (-12)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 9 = 144 - 144 = 0. \] Поскольку дискриминант равен нулю, у нас есть один корень: \[ x_1 = \frac{-b}{2a} = \frac{12}{2 \cdot 4} = \frac{12}{8} = \frac{3}{2}. \] Таким образом, \( 4x^2 - 12x + 9 = 0 \) имеет корень \( x = \frac{3}{2} \).Анализ знаменателя:
Знаменатель \( x + 5 \) равен нулю при \( x = -5 \).Составляем знаковую таблицу:
Определим знаки дроби \( \frac{4x^2 - 12x + 9}{x + 5} \) на интервалах, образуемых этими корнями:- Интервал \( (-\infty, -5) \)
- Интервал \( (-5, \frac{3}{2}) \)
- Интервал \( (\frac{3}{2}, +\infty) \)
Посмотрим на знаки на каждом интервале:
- Для \( x < -5 \):
Числитель \( 4x^2 - 12x + 9 > 0 \) (так как это парабола, открытая вверх, и имеет единичный корень, который меньше -5)
Знаменатель \( x + 5 < 0 \)
Дробь \( \frac{4x^2 - 12x + 9}{x + 5} < 0 \) - Для \( -5 < x < \frac{3}{2} \):
Числитель \( 4x^2 - 12x + 9 > 0 \)
Знаменатель \( x + 5 > 0 \)
Дробь \( \frac{4x^2 - 12x + 9}{x + 5} > 0 \) - Для \( x > \frac{3}{2} \):
Числитель \( 4x^2 - 12x + 9 = 0 \) (она равна нулю)
Знаменатель \( x + 5 > 0 \)
Дробь \( \frac{4x^2 - 12x + 9}{x + 5} = 0 \)
Объединяем результаты и решаем неравенство:
У нас получается:- \( (-\infty, -5) \): отрицательный
- \( (-5, \frac{3}{2}) \): положительный
- \( (\frac{3}{2}, +\infty) \): ноль
Неравенство требует, чтобы дробь была меньше или равна нулю: \[ \frac{4x^2 - 12x + 9}{x + 5} \leq 0. \] Это верно на интервале \( (-\infty, -5) \) и при \( x = \frac{3}{2} \).
Итог:
Ответ: \( x \in (-\infty, -5) \cup \left\{ \frac{3}{2} \right\} \).
Если у вас есть дополнительные вопросы или нужна помощь с другими задачами, не стесняйтесь обращаться!
