Какое наименьшее количество клеток нужно отметить на доске 9 × 8, чтобы в любом квадрате 3 × 3 было хотя бы 4 отмеченных клетки?

Для решения задачи о том, сколько клеток нужно отметить на доске размером 9 × 8, чтобы в любом квадрате 3 × 3 было хотя бы 4 отмеченных клетки, можно использовать стратегический подход.

Доска имеет размеры 9 рядов и 8 столбцов. Квадраты 3 × 3 могут начинаться в различных позициях, и нужно убедиться, что в каждом из них будет как минимум 4 отмеченных клетки.

Рассмотрим следующее распределение:

1. Обозначим клетки, которые мы будем отмечать. Начнем с того, что нам необходимо отметить клетки так, чтобы охватить все возможные 3 × 3 квадраты. Каждый квадрат 3 × 3 имеет 9 клеток.

2. Мы можем расставить отмеченные клетки по диагональным линиям, чтобы максимально эффективно покрыть доску. Для этого будем отмечать клетки с некоторым шагом.

Один из возможных вариантов разметки может выглядеть следующим образом:

• Отметить клетки по рядам и столбцам, например, отметив каждую третью клетку.

Рассмотрим следующую схему:

• Отметить клетки в следующих позициях на доске:

X . . X . . X . .  
. . X . . X . . X  
X . . X . . X . .  
. . X . . X . . X  
X . . X . . X . .  
. . X . . X . . X  
X . . X . . X . .  
. . X . . X . . X  
X . . X . . X . .

Таким образом, в каждом квадрате 3 × 3 можно найти по крайней мере 4 отмеченных клетки. Это достигается благодаря тому, что каждая клетка в пределах квадрата привлекает отмеченные клетки из соседних рядов и столбцов.

Проверив данное расположение для каждого из возможных квадратов, можно убедиться, что 12 отмеченных клеток достаточно для выполнения условия задачи. Таким образом, чтобы в любом квадрате 3 × 3 было хотя бы 4 отмеченных клетки, на доске 9 × 8 необходимо отметить не менее 12 клеток.