Сочинение написали 108 экзаменующихся. Им было роздано 480 листов бумаги , причем каждая девушка получила на один лист бумаги больше каждого юноши,а все девушки получили столько же листов сколько все юноши . сколько было девушек и сколько юношей

Давайте разберем задачу шаг за шагом.

1. Обозначим количество девушек как \( d \), а количество юношей как \( m \).

2. Из условия известно, что всего экзаменующихся 108. Следовательно, мы можем написать уравнение: \[ d + m = 108 \]

3. Каждая девушка получила на один лист бумаги больше, чем каждый юноша. Обозначим количество листов бумаги, которое получил каждый юноша, как \( x \). Тогда девушки получили \( x + 1 \) листов бумаги.

4. Общее количество листов бумаги, такой же для девушек и юношей, будет:

   • Девушки получили: \( d \cdot (x + 1) \)
   • Юноши получили: \( m \cdot x \)

5. Из условия задачи также известно, что суммы листов бумаги девушек и юношей равны: \[ d \cdot (x + 1) = m \cdot x \]

6. У нас есть два уравнения: \[ d + m = 108 \quad (1) \] \[ d \cdot (x + 1) = m \cdot x \quad (2) \]

7. Теперь выразим \( d \) через \( m \) из уравнения (1): \[ d = 108 - m \]

8. Подставим \( d \) в уравнение (2): \[ (108 - m) \cdot (x + 1) = m \cdot x \]

9. Раскроем скобки: \[ 108x + 108 - mx - m = mx \]

10. Упростим уравнение: \[ 108x + 108 = 2mx + m \] \[ 108 = 2mx + m - 108x \]

11. Теперь решим это уравнение. Мы можем выразить \( m \): \[ 108 = m(2x + 1) - 108x \]

    Давайте рассмотрим, что \( x \) и \( m \) должны быть целыми числами. Посмотрим для различных значений \( x \).

Для поиска целых решений мы можем попробовать некоторые простые значения \( x \):

• Пусть \( x = 2 \): \[ 108 = m(2 \cdot 2 + 1) - 108 \cdot 2 \] \[ 108 = m(4 + 1) - 216 \] \[ m \cdot 5 = 324 \Rightarrow m = 64.8 \quad (не целое) \]

• Пусть \( x = 3 \): \[ 108 = m(2 \cdot 3 + 1) - 108 \cdot 3 \] \[ 108 = m(6 + 1) - 324 \] \[ m \cdot 7 = 432 \Rightarrow m = 61.71 \quad (не целое) \]

• Пусть \( x = 1 \): \[ 108 = m(2 \cdot 1 + 1) - 108 \cdot 1 \] \[ 108 = m(3) - 108 \] \[ m \cdot 3 = 216 \Rightarrow m=72 \quad (целое) \]

Теперь подставим \( m = 72 \) в уравнение (1): \[ d + 72 = 108 \Rightarrow d = 36 \]

Итак, у нас есть:

• Количество девушек \( d = 36 \)
• Количество юношей \( m = 72 \)

Таким образом, ответ: 36 девушек и 72 юноши.