Решить периодическую дробь: 1,(5) + 1,(6)

Чтобы решить периодическую дробь 1,(5) + 1,(6), начнем с определения этих дробей.

1. Периодическая дробь 1,(5) можно представить как 1 + 0,5555..., что можно записать в виде обыкновенной дроби. Обозначим x = 1,(5). Умножим обе стороны на 10:

   \(10x = 10 + 5,(5)\).

   Теперь вычтем x из обеих сторон:

   \(10x - x = 10 + 0,5555... - 1 - 0,5555...\)

   Это даст:

   \(9x = 9 \).

   Отсюда \(x = 1\).

   Таким образом, 1,(5) = 1 + 0,5 = 1 + \frac{5}{90} = \frac{55}{90} = \frac{11}{18}.

2. Теперь смотрим на 1,(6). Аналогичным образом обозначим y = 1,(6). Умножим на 10:

   \(10y = 10 + 6,(6)\).

   Вычтем y из обеих сторон:

   \(10y - y = 10 + 0,6666... - 1 - 0,6666...\)

   Это даст:

   \(9y = 9 \).

   Отсюда \(y = 1 + \frac{6}{90} = \frac{56}{90} = \frac{28}{45}. Теперь складываем обе дроби: \(\frac{11}{18} + \frac{28}{45}\).

Чтобы сложить дроби, найдем общий знаменатель. Общий знаменатель для 18 и 45 равен 90.

Приведем дроби к общему знаменателю:

\(\frac{11}{18} = \frac{11 \cdot 5}{18 \cdot 5} = \frac{55}{90}\).

И

\(\frac{28}{45} = \frac{28 \cdot 2}{45 \cdot 2} = \frac{56}{90}\).

Теперь можем складывать:

\(\frac{55}{90} + \frac{56}{90} = \frac{111}{90}\).

Таким образом, результатом сложения 1,(5) + 1,(6) является:

\(\frac{111}{90}\) или \(1,2333...\).

Если нужно представление в строковом виде, можно записать это как 1,(2).