Назовем пару чисел(b, c) великолепной, если наибольший общий делитель корней квадратного уравнения x²-47bx+c=0 равен b, а наименьшее общее кратное корней - с. Найдите количество великолепных пар
Для того чтобы найти количество великолепных пар чисел \( (b, c) \), нам нужно учитывать условия, что наибольший общий делитель (НОД) корней квадратного уравнения \( x^2 - 47bx + c = 0 \) равен \( b \), а наименьшее общее кратное (НОК) корней равен \( c \).
Рассмотрим корни квадратного уравнения, пусть они будут \( x_1 \) и \( x_2 \). По формуле Виета, имеем:
- \( x_1 + x_2 = 47b \)
- \( x_1 \cdot x_2 = c \)
Сначала определим НОД и НОК корней:
- \( \text{НОД}(x_1, x_2) = b \)
- \( \text{НОК}(x_1, x_2) = \frac{x_1 \cdot x_2}{\text{НОД}(x_1, x_2)} = \frac{c}{b} \)
Согласно этому, мы имеем:
\[ \frac{c}{b} = c \implies c = b^2 \]
Подставляя \( c = b^2 \) в формулы Виета, мы получаем:
- \( x_1 + x_2 = 47b \)
- \( x_1 \cdot x_2 = b^2 \)
Теперь мы можем рассмотреть корни \( x_1 \) и \( x_2 \) как \( x_1 = b \cdot k_1 \) и \( x_2 = b \cdot k_2 \), где \( k_1 \) и \( k_2 \) — целые числа. Тогда из уравнений мы имеем:
\[ b(k_1 + k_2) = 47b \implies k_1 + k_2 = 47 \]
А из второго уравнения:
\[ b^2 k_1 k_2 = b^2 \implies k_1 k_2 = 1 \]
Решая систему \( k_1 + k_2 = 47 \) и \( k_1 k_2 = 1 \), получаем:
Выразим \( k_2 \): \[ k_2 = 47 - k_1 \]
Подставим это в уравнение произведения: \[ k_1(47 - k_1) = 1 \]
Раскроем скобки: \[ 47k_1 - k_1^2 = 1 \] \[ k_1^2 - 47k_1 + 1 = 0 \]
Решим это квадратное уравнение с помощью формулы: \[ k_1 = \frac{47 \pm \sqrt{47^2 - 4 \cdot 1}}{2} \] \[ k_1 = \frac{47 \pm \sqrt{2209 - 4}}{2} \] \[ k_1 = \frac{47 \pm \sqrt{2205}}{2} \]
Теперь вычислим \( \sqrt{2205} \). Можно заметить, что это не является целым числом, а значит, \( k_1 \) и \( k_2 \) не будут целыми, что говорит о том, что для целых \( b \) не существует пар \( (b, c) \) с данными условиями.
Таким образом, количество великолепных пар \( (b, c) \) равно 0.
