Сумма трёх чисел равна 800. Первое число составляет 35% от их суммы. Если второе число увеличить на 24%, третье число уменьшить на 20%, а первое число оставить без изменения, то их сумму увеличится на 0 75%. Чему равно произведение первого числа на разность третьего и второго

Обозначим три числа как \( x \), \( y \) и \( z \). Из условия задачи нам известно:

1. \( x + y + z = 800 \)
2. \( x = 0.35 \cdot (x + y + z) = 0.35 \cdot 800 = 280 \)

Следовательно, мы имеем:

\[ x = 280 \]

Теперь подставим значение \( x \) в первое уравнение:

\[ 280 + y + z = 800 \]

Из этого получается:

\[ y + z = 800 - 280 = 520 \]

Далее, изменим числа по условию задачи. Первое число остаётся без изменения, второе число увеличивается на 24%, а третье число уменьшается на 20%. Тогда новые числа:

• Первое число: \( 280 \)
• Второе число: \( y + 0.24y = 1.24y \)
• Третье число: \( z - 0.2z = 0.8z \)

Составим новое уравнение суммы:

\[ 280 + 1.24y + 0.8z = 800 + 0.0075 \cdot 800 \]

Сначала рассчитаем правую часть уравнения:

\[ 0.0075 \cdot 800 = 6 \]

Таким образом:

\[ 280 + 1.24y + 0.8z = 806 \]

Теперь подставим \( z \) из уравнения \( y + z = 520 \):

\[ z = 520 - y \]

Подставим это значение в новое уравнение:

\[ 280 + 1.24y + 0.8(520 - y) = 806 \]

Упростим:

\[ 280 + 1.24y + 416 - 0.8y = 806 \] \[ 280 + 416 + 1.24y - 0.8y = 806 \] \[ 696 + 0.44y = 806 \] \[ 0.44y = 806 - 696 \] \[ 0.44y = 110 \] \[ y = \frac{110}{0.44} = 250 \]

Теперь найдем \( z \):

\[ z = 520 - y = 520 - 250 = 270 \]

Теперь у нас есть все числа:

\[ x = 280, \quad y = 250, \quad z = 270 \]

Теперь найдем произведение первого числа на разность третьего и второго:

\[ z - y = 270 - 250 = 20 \]

\[ \text{Произведение} = x \cdot (z - y) = 280 \cdot 20 = 5600 \]

Таким образом, ответ:

\[ \boxed{5600} \]