Квадраты ABCD и DEFG расположены так, как показано на рисунке. Прямые GE и AC пересекаются в точке H, а AE и CG - в точке I. Известно, что если площадь квадрата ABCD в 4 раза…

Обозначим сторону квадрата DEFG как \( a \), тогда площадь квадрата DEFG будет равна \( a^2 \). Поскольку площадь квадрата ABCD в 4 раза больше, то:

\[ S_{ABCD} = 4S_{DEFG} = 4a^2 \]

Теперь обозначим сторону квадрата ABCD как \( b \). Тогда:

\[ b^2 = 4a^2 \implies b = 2a \]

Теперь, для определения угла \( CHI \), нужно рассмотреть положение точек, которые мы имеем:

1. Пусть координаты точек квадрата ABCD будут:

   • \( A(0, 0) \)
   • \( B(2a, 0) \)
   • \( C(2a, 2a) \)
   • \( D(0, 2a) \)

2. Пусть координаты точек квадрата DEFG будут:

   • \( D(2a, 2a) \)
   • \( E(2a + a, 2a) = (3a, 2a) \)
   • \( F(3a, 2a - a) = (3a, a) \)
   • \( G(2a, a) \)

Теперь найдём уравнения прямых \( GE \) и \( AC \):

• Для прямой \( AC \): \[ y = x \]

• Для прямой \( GE \), соединяющей точки \( G(2a, a) \) и \( E(3a, 2a) \): Сначала найдем её наклон: \[ k = \frac{2a - a}{3a - 2a} = \frac{a}{a} = 1 \] Уравнение прямой \( GE \): \[ y - a = 1(x - 2a) \implies y = x - 2a + a = x - a \]

Теперь найдём точку пересечения \( H \) прямых \( AC \) и \( GE \): \[ x = x - a \implies x - a = 0 \implies x = a \implies y = a \] Точка \( H(a, a) \).

Теперь для нахождения точек \( I \):

• Прямая \( AE \), соединяющая точки \( A(0, 0) \) и \( E(3a, 2a) \): Наклон: \[ k = \frac{2a - 0}{3a - 0} = \frac{2}{3} \] Уравнение: \[ y = \frac{2}{3}x \]

• Прямая \( CG \) соединяющая точки \( C(2a, 2a) \) и \( G(2a, a) \): Эта прямая вертикальная, её уравнение: \[ x = 2a \]

Теперь найдём точку \( I \): \[ y = \frac{2}{3}(2a) = \frac{4}{3}a \] Точка \( I(2a, \frac{4}{3}a) \).

Теперь находим углы:

• Вектор \( CH \): \[ CH = H - C = (a - 2a, a - 2a) = (-a, -a) \implies \text{наклон } = 1 \]

• Вектор \( CI \): \[ CI = I - C = (2a - 2a, \frac{4}{3}a - 2a) = (0, \frac{-2}{3}a) \implies \text{наклон } = 0 \]

Теперь для нахождения тангенса угла \( CHI \): \[ \tan(CHI) = \frac{|k_1-k_2|}{1+k_1 \cdot k_2} = \frac{|1 - 0|}{1 + 1 \cdot 0} = 1 \]

Таким образом, тангенс угла \( CHI \) равен:

\[ \boxed{1} \]