На соревнованиях по бегу через каждые 300 м от места старта стоит наблюдатель, а через каждые 800 м от места старта можно попить воды. На каком наименьшем расстоянии от места старта можно попить воды рядом с наблюдателем?
Для решения этой задачи необходимо определить, на каком расстоянии от места старта совпадают позиции наблюдателей и мест для питья воды.
Наблюдатели стоят через каждые 300 м от старта. Это значит, что их положения можно описать формулой: \[ 300n \] где \( n \) — целое число (0, 1, 2, 3 и так далее).
Места для питья воды находятся через каждые 800 м от старта и могут быть описаны формулой: \[ 800m \] где \( m \) — также целое число.
Теперь нам нужно найти наименьшее положительное значение, которое можно представить как одновременно: \[ 300n = 800m \]
Для этого мы можем найти наименьшее общее кратное (НОК) чисел 300 и 800.
Найдем разложение на простые множители:
- 300 = \( 2^2 \times 3 \times 5^2 \)
- 800 = \( 2^5 \times 5^2 \)
НОК получается путем выбора максимальной степени каждого простого множителя:
- \( 2^5 \) (максимум из 2)
- \( 3^1 \) (максимум из 3)
- \( 5^2 \) (максимум из 5)
Следовательно, НОК(300, 800): \[ 2^5 \times 3^1 \times 5^2 = 32 \times 3 \times 25 = 2400 \]
Таким образом, наименьшее расстояние от места старта, на котором можно попить воды рядом с наблюдателем, составляет 2400 метров.
