постройте график функции у=(х+1)(х²+8х+15)/х+5 и определите при каких значениях m прямая у= m имеет с графиком ровно одну общую точку
Чтобы построить график функции \( y = \frac{(x+1)(x^2 + 8x + 15)}{x + 5} \) и определить, при каких значениях \( m \) прямая \( y = m \) имеет с графиком ровно одну общую точку, начнем с анализа функции.
Упрощение функции: Сначала упростим числитель: \[ (x^2 + 8x + 15) = (x + 3)(x + 5) \] Таким образом, функция может быть записана как: \[ y = \frac{(x + 1)(x + 3)(x + 5)}{x + 5} \] При \( x \neq -5 \): \[ y = (x + 1)(x + 3) \] Это упростит наши дальнейшие вычисления. Однако следует помнить, что \( x = -5 \) является точкой разрыва.
Форма функции: Рассмотрим функцию \( y = (x + 1)(x + 3) \). Раскроем скобки: \[ y = x^2 + 4x + 3 \] Это квадратичная функция, и её график — это парабола, открывающаяся вверх.
Нахождение условий для касания: Прямая \( y = m \) будет касаться графика этой функции, если у уравнения: \[ x^2 + 4x + 3 = m \] есть ровно одно решение. Приведем это уравнение к стандартному виду: \[ x^2 + 4x + (3 - m) = 0 \] Квадратное уравнение имеет одно решение, когда его дискриминант равен нулю: \[ D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (3 - m) \] \[ D = 16 - 4(3 - m) = 16 - 12 + 4m = 4m + 4 \] Для того чтобы \( D = 0 \): \[ 4m + 4 = 0 \] \[ 4m = -4 \] \[ m = -1 \]
Итог: Значение \( m = -1 \) – это условие, при котором прямая \( y = m \) имеет с графиком функции ровно одну общую точку (касание).
Теперь вы можете построить график данной функции и прямая \( y = -1 \) будет касаться графика в определенной точке. Изучите точку разрыва при \( x = -5 \) и учитывайте, что в этой точке функция не определена.
