x³-10x<0

Чтобы решить неравенство \( x^3 - 10x < 0 \), сначала упростим его.

1. Перепишем неравенство: \[ x^3 - 10x < 0 \] Это можно записать как: \[ x(x^2 - 10) < 0 \]

2. Теперь найдем корни уравнения \( x(x^2 - 10) = 0 \). Это произойдет, когда \( x = 0 \) или \( x^2 - 10 = 0 \).

   • Из \( x^2 - 10 = 0 \) имеем: \[ x^2 = 10 \quad \Rightarrow \quad x = \sqrt{10} \quad \text{или} \quad x = -\sqrt{10} \]

3. Теперь у нас есть три критические точки: \( x = -\sqrt{10} \), \( x = 0 \) и \( x = \sqrt{10} \).

4. Разделим числовую прямую на интервалы по этим критическим точкам:

   • Интервал 1: \( (-\infty, -\sqrt{10}) \)
   • Интервал 2: \( (-\sqrt{10}, 0) \)
   • Интервал 3: \( (0, \sqrt{10}) \)
   • Интервал 4: \( (\sqrt{10}, +\infty) \)

5. Теперь проверим знаки выражения \( x(x^2 - 10) \) на каждом интервале:

   • В интервале \( (-\infty, -\sqrt{10}) \) (например, \( x = -4 \)): \[ -4((-4)^2 - 10) = -4(16 - 10) = -4 \cdot 6 < 0 \]
   • В интервале \( (-\sqrt{10}, 0) \) (например, \( x = -1 \)): \[ -1((-1)^2 - 10) = -1(1 - 10) = -1 \cdot (-9) > 0 \]
   • В интервале \( (0, \sqrt{10}) \) (например, \( x = 1 \)): \[ 1(1^2 - 10) = 1(1 - 10) = 1 \cdot (-9) < 0 \]
   • В интервале \( (\sqrt{10}, +\infty) \) (например, \( x = 4 \)): \[ 4(4^2 - 10) = 4(16 - 10) = 4 \cdot 6 > 0 \]

6. Подводя итоги, неравенство \( x^3 - 10x < 0 \) выполняется на интервалах \( (-\infty, -\sqrt{10}) \) и \( (0, \sqrt{10}) \).

Ответ: \( x \in (-\infty, -\sqrt{10}) \cup (0, \sqrt{10}) \).