2/х-2 - 4/х+1 ≤1

Для решения неравенства \( \frac{2}{x - 2} - \frac{4}{x + 1} \leq 1 \) начнем с упрощения выражения.

1. Переносим 1 в левую часть неравенства:

\[ \frac{2}{x - 2} - \frac{4}{x + 1} - 1 \leq 0 \]

2. Приводим к общему знаменателю. Общий знаменатель для дробей \( (x - 2)(x + 1) \). Пишем дроби:

\[ \frac{2(x + 1)}{(x - 2)(x + 1)} - \frac{4(x - 2)}{(x - 2)(x + 1)} - \frac{(x - 2)(x + 1)}{(x - 2)(x + 1)} \leq 0 \]

Теперь у нас есть:

\[ \frac{2(x + 1) - 4(x - 2) - (x - 2)(x + 1)}{(x - 2)(x + 1)} \leq 0 \]

3. Упрощаем числитель:

\[ 2x + 2 - 4x + 8 - (x^2 - x - 2) \leq 0 \]

После раскрытия скобок:

\[ 2x + 2 - 4x + 8 - x^2 + x + 2 \leq 0 \]

Объединим подобные:

\[ -x^2 - x + 12 \leq 0 \]

4. Умножим все на -1 (не забываем поменять знак неравенства):

\[ x^2 + x - 12 \geq 0 \]

5. Теперь решим квадратное неравенство \( x^2 + x - 12 \geq 0 \). Находим корни уравнения \( x^2 + x - 12 = 0 \) с помощью дискриминанта:

\[ D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4(1)(-12) = 1 + 48 = 49 \]

Корни:

\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 \pm 7}{2} \]

Таким образом, получаем:

\[ x_1 = 3, \quad x_2 = -4 \]

6. Теперь мы определим промежутки на числовой прямой. Запишем, что \( x^2 + x - 12 \geq 0 \) имеет нули в точках \( x = -4 \) и \( x = 3 \).

Таблица знаков:

• Для \( x < -4 \): \( (+) \)
• Для \( -4 < x < 3 \): \( (-) \)
• Для \( x > 3 \): \( (+) \)

7. С учетом найденных корней, неравенство выполняется, когда \( x \leq -4 \) или \( x \geq 3 \).

Теперь нужно учесть ограничения от исходных дробей:

• \( x - 2 \neq 0 \) ( \( x \neq 2 \) )
• \( x + 1 \neq 0 \) ( \( x \neq -1 \) )

8. Итоговое решение:

\[ x \in (-\infty, -4] \cup [3, +\infty) \]

Таким образом, вы получили решение неравенства! Если у вас есть дополнительные вопросы или хотите подробнее разобрать какой-то момент, пожалуйста, дайте знать.