Целая сумма. В качестве ответа вводите целое число. Никаких иных символов, кроме используемых для записи числа (в частности, пробелов), быть не должно. Пример: -12 Известно, что уравнение x2 + (p + 8)x + 2q = 0 не имеет решений, а уравнение 2x2 + qx - (p + 8) = 0 имеет два различных корня. Найдите наименьшее целое значение выражения р + q, если р < q. Введите целое число или десятичь-

Question 1

Задача Задача №1665608

А

Аноним

29 сентября 2024 15:39 · публичный вопрос

А

Аноним 29 сентября 2024 15:39

Целая сумма. В качестве ответа вводите целое число. Никаких иных символов, кроме используемых для записи числа (в частности, пробелов), быть не должно. Пример: -12 Известно, что уравнение x2 + (p + 8)x + 2q = 0 не имеет решений, а уравнение 2x2 + qx - (p + 8) = 0 имеет два различных корня. Найдите наименьшее целое значение выражения р + q, если р < q. Введите целое число или десятичь-

Answer

Давайте решим задачу шаг за шагом.

У нас есть два уравнения:

\( x^2 + (p + 8)x + 2q = 0 \) — это уравнение не имеет решений. Для того чтобы уравнение не имело решений, его дискриминант должен быть меньше нуля.

Дискриминант (D) для этого уравнения вычисляется по формуле: \[ D = (p + 8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2q < 0 \] То есть: \[ (p + 8)^2 < 8q \tag{1} \]
\( 2x^2 + qx - (p + 8) = 0 \) — это уравнение имеет два различных корня. Для этого его дискриминант должен быть больше нуля.

Дискриминант для этого уравнения вычисляется по формуле: \[ D = q^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-(p + 8)) > 0 \] То есть: \[ q^2 + 8(p + 8) > 0 \tag{2} \]

Сейчас у нас есть система неравенств (1) и (2). Теперь давайте найдем наименьшее целое значение выражения \( p + q \), при условии что \( p < q \).

Разберем неравенства. Для неравенства (1): \((p + 8)^2 < 8q\) — это неравенство можно переписать как: \[ q > \frac{(p + 8)^2}{8} \tag{3} \]

Теперь подставим (3) в (2): \[ q^2 + 8(p + 8) > 0 \] При этом подставим \( q \) из (3): \[ \left(\frac{(p + 8)^2}{8}\right)^2 + 8(p + 8) > 0 \] Эти два неравенства могут быть сложно решать с применением алгебры. Так что давайте подберем значения \( p \) и \( q \).

Попробуем несколько целых значений:

\( p = 0 \) и \( q = 1 \):
- Проверяем: \[ (0 + 8)^2 < 8 \cdot 1 \Rightarrow 64 < 8 \quad (\text{не верно}) \]
\( p = 0 \) и \( q = 3 \):
- Проверяем: \[ (0 + 8)^2 < 8 \cdot 3 \Rightarrow 64 < 24 \quad (\text{не верно}) \]
\( p = -4 \) и \( q = 0 \):
- Проверяем: \[ (-4 + 8)^2 < 8 \cdot 0 \Rightarrow 16 < 0 \quad (\text{не верно}) \]
\( p = -4 \) и \( q = 4 \):
- Проверяем: \[ (-4 + 8)^2 < 8 \cdot 4 \Rightarrow 16 < 32 \quad (\text{верно}) \] \[ 4^2 + 8(-4 + 8) > 0 \Rightarrow 16 + 8 \cdot 4 > 0 \quad (\text{верно}) \]

Тогда подставляем \( p = -4 \) и \( q = 4 \): \[ p + q = -4 + 4 = 0 \]

Рассмотрим следующее возможное целое значение:

\( p = -3 \) и \( q = 4 \):
- Проверяем:
  - (1) Для = \( (-3 + 8)^2 < 32 \) \(\Rightarrow 25 < 32 \quad (\text{верно})\)
  - (2) Для = \( 16 + 8 > 0 \quad (\text{верно})\)

При \( p = -3 \) и \( q = 4\): \[ p + q = -3 + 4 = 1 \]

Таким образом, наименьшее целое значение выражения \( p + q \), при условии что \( p < q \), равно:

\[ \boxed{1} \]

Question 2

Целая сумма. В качестве ответа вводите целое число. Никаких иных символов, кроме используемых для записи числа (в частности, пробелов), быть не должно. Пример: -12 Известно, что уравнение x2 + (p + 8)x + 2q = 0 не имеет решений, а уравнение 2x2 + qx - (p + 8) = 0 имеет два различных корня. Найдите наименьшее целое значение выражения р + q, если р < q. Введите целое число или десятичь-

Answer

Давайте решим задачу шаг за шагом. У нас есть два уравнения: 1. \( x^2 + (p + 8)x + 2q = 0 \) — это уравнение не имеет решений. Для того чтобы уравнение не имело решений, его дискриминант должен быть меньше нуля. Дискриминант (D) для этого уравнения вычисляется по формуле: \[ D = (p + 8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2q < 0 \] То есть: \[ (p + 8)^2 < 8q \tag{1} \] 2. \( 2x^2 + qx - (p + 8) = 0 \) — это уравнение имеет два различных корня. Для этого его дискриминант должен быть больше нуля. Дискриминант для этого уравнения вычисляется по формуле: \[ D = q^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-(p + 8)) > 0 \] То есть: \[ q^2 + 8(p + 8) > 0 \tag{2} \] Сейчас у нас есть система неравенств (1) и (2). Теперь давайте найдем наименьшее целое значение выражения \( p + q \), при условии что \( p < q \). Разберем неравенства. Для неравенства (1): \((p + 8)^2 < 8q\) — это неравенство можно переписать как: \[ q > \frac{(p + 8)^2}{8} \tag{3} \] Теперь подставим (3) в (2): \[ q^2 + 8(p + 8) > 0 \] При этом подставим \( q \) из (3): \[ \left(\frac{(p + 8)^2}{8}\right)^2 + 8(p + 8) > 0 \] Эти два неравенства могут быть сложно решать с применением алгебры. Так что давайте подберем значения \( p \) и \( q \). Попробуем несколько целых значений: 1. \( p = 0 \) и \( q = 1 \): - Проверяем: \[ (0 + 8)^2 < 8 \cdot 1 \Rightarrow 64 < 8 \quad (\text{не верно}) \] 2. \( p = 0 \) и \( q = 3 \): - Проверяем: \[ (0 + 8)^2 < 8 \cdot 3 \Rightarrow 64 < 24 \quad (\text{не верно}) \] 3. \( p = -4 \) и \( q = 0 \): - Проверяем: \[ (-4 + 8)^2 < 8 \cdot 0 \Rightarrow 16 < 0 \quad (\text{не верно}) \] 4. \( p = -4 \) и \( q = 4 \): - Проверяем: \[ (-4 + 8)^2 < 8 \cdot 4 \Rightarrow 16 < 32 \quad (\text{верно}) \] \[ 4^2 + 8(-4 + 8) > 0 \Rightarrow 16 + 8 \cdot 4 > 0 \quad (\text{верно}) \] Тогда подставляем \( p = -4 \) и \( q = 4 \): \[ p + q = -4 + 4 = 0 \] Рассмотрим следующее возможное целое значение: 1. \( p = -3 \) и \( q = 4 \): - Проверяем: - (1) Для = \( (-3 + 8)^2 < 32 \) \(\Rightarrow 25 < 32 \quad (\text{верно})\) - (2) Для = \( 16 + 8 > 0 \quad (\text{верно})\) При \( p = -3 \) и \( q = 4\): \[ p + q = -3 + 4 = 1 \] Таким образом, наименьшее целое значение выражения \( p + q \), при условии что \( p < q \), равно: \[ \boxed{1} \]