Решите уравнение √2x + 1 = √x^2-2x+4

Для решения уравнения \(\sqrt{2x + 1} = \sqrt{x^2 - 2x + 4}\) начнём с того, чтобы избавиться от квадратных корней. Для этого возведём обе стороны уравнения в квадрат:

\[ (\sqrt{2x + 1})^2 = (\sqrt{x^2 - 2x + 4})^2 \]

Это упрощается до:

\[ 2x + 1 = x^2 - 2x + 4 \]

Теперь перенесём все слагаемые на одну сторону уравнения, чтобы привести его к стандартному виду:

\[ 0 = x^2 - 2x - 2x + 4 - 1 \]

Это упрощается до:

\[ 0 = x^2 - 4x + 3 \]

Теперь мы можем решить квадратное уравнение \(x^2 - 4x + 3 = 0\) с помощью факторизации. Нам нужно найти такие два числа, которые в сумме дают -4, а в произведении 3. Это числа -1 и -3. Таким образом, уравнение можно разложить на множители:

\[ (x - 1)(x - 3) = 0 \]

Теперь решим каждое из множителей на равенство нулю:

1. \(x - 1 = 0 \Rightarrow x = 1\)
2. \(x - 3 = 0 \Rightarrow x = 3\)

Теперь у нас есть два возможных решения: \(x = 1\) и \(x = 3\). Однако нам нужно проверить, являются ли они корнями исходного уравнения, так как при возведении в квадрат могут появляться лишние корни.

1. Подставим \(x = 1\) в исходное уравнение:

\[ \sqrt{2(1) + 1} = \sqrt{1^2 - 2(1) + 4} \] \[ \sqrt{2 + 1} = \sqrt{1 - 2 + 4} \] \[ \sqrt{3} = \sqrt{3} \quad \text{(истинно)} \]

2. Подставим \(x = 3\) в исходное уравнение:

\[ \sqrt{2(3) + 1} = \sqrt{3^2 - 2(3) + 4} \] \[ \sqrt{6 + 1} = \sqrt{9 - 6 + 4} \] \[ \sqrt{7} = \sqrt{7} \quad \text{(истинно)} \]

Оба значения удовлетворяют исходному уравнению. Таким образом, окончательные решения:

\[ x = 1 \quad \text{и} \quad x = 3 \]