Решить систему уравнений (х-2у)/3+(2х+у)/6=1 (-х+2у)/6+(2х+у)/2=2/3
Для решения системы уравнений:
- \(\frac{x - 2y}{3} + \frac{2x + y}{6} = 1\)
- \(\frac{-x + 2y}{6} + \frac{2x + y}{2} = \frac{2}{3}\)
начнем с первого уравнения.
Умножим все члены первого уравнения на 6 (наименьшее общее кратное 3 и 6), чтобы избавиться от дробей:
\[ 6 \cdot \frac{x - 2y}{3} + 6 \cdot \frac{2x + y}{6} = 6 \cdot 1 \]
Это дает нам:
\[ 2(x - 2y) + (2x + y) = 6 \]
Раскроем скобки:
\[ 2x - 4y + 2x + y = 6 \]
Соберём подобные члены:
\[ 4x - 3y = 6 \quad (1) \]
Теперь решим второе уравнение. Также умножим его на 6:
\[ 6 \cdot \frac{-x + 2y}{6} + 6 \cdot \frac{2x + y}{2} = 6 \cdot \frac{2}{3} \]
Получаем:
\[ -x + 2y + 3(2x + y) = 4 \]
Раcкроем скобки:
\[ -x + 2y + 6x + 3y = 4 \]
Соберём подобные члены:
\[ 5x + 5y = 4 \quad (2) \]
Теперь у нас есть система из двух уравнений:
- \(4x - 3y = 6\)
- \(5x + 5y = 4\)
Теперь можно решить эту систему. Упростим второе уравнение, разделив на 5:
\[ x + y = \frac{4}{5} \quad (3) \]
Теперь выразим \(y\) через \(x\):
\[ y = \frac{4}{5} - x \]
Подставим это выражение для \(y\) в первое уравнение:
\[ 4x - 3\left(\frac{4}{5} - x\right) = 6 \]
Упростим:
\[ 4x - \frac{12}{5} + 3x = 6 \]
Соберём все \(x\) в одном месте:
\[ 7x - \frac{12}{5} = 6 \]
Добавляем \(\frac{12}{5}\) к обеим сторонам:
\[ 7x = 6 + \frac{12}{5} \]
Приводим к общему знаменателю (5):
\[ 7x = \frac{30}{5} + \frac{12}{5} = \frac{42}{5} \]
Теперь делим обе стороны на 7:
\[ x = \frac{42}{5 \cdot 7} = \frac{42}{35} = \frac{6}{5} \]
Теперь подставим значение \(x\) обратно в уравнение (3) для нахождения \(y\):
\[ y = \frac{4}{5} - \frac{6}{5} = -\frac{2}{5} \]
Итак, мы получили решение системы:
\[ x = \frac{6}{5}, \quad y = -\frac{2}{5} \]
Если у Вас есть дополнительные вопросы или нужна помощь с другим материалом, не стесняйтесь спрашивать!
