В стране есть обычные города и Столица, некоторые из них соединены дорогами. Обычные города объединены в 20 регионов, пронумерованных числами от 1 до 20. Известно, что количество дорог между Столицей и регионом равно номеру региона, а количество дорог, выходящих из одного региона в другие, равно разности 22 и номера этого региона. Сколько всего дорог в этой стране?

В этой задаче мы можем систематически рассмотреть, сколько дорог существует в стране, включая дороги между Столицей и регионами, а также дороги между обычными городами в различных регионах.

1. Дороги между Столицей и регионами:

   • Количество дорог между Столицей и регионом равно номеру региона. Таким образом, для регионов от 1 до 20, количество дорог будет следующими:
     • Регион 1: 1 дорога
     • Регион 2: 2 дороги
     • Регион 3: 3 дороги
     • ...
     • Регион 20: 20 дорог
   • Сумма всех дорог от 1 до 20 складывается по формуле суммы арифметической прогрессии: \[ S = \frac{n(n + 1)}{2} \]
   • В нашем случае \( n = 20 \): \[ S = \frac{20(20 + 1)}{2} = \frac{20 \times 21}{2} = 210 \]

2. Дороги между регионами:

   • Количество дорог, выходящих из одного региона в другие, равно разности 22 и номера этого региона. Это означает:

     • Регион 1: 21 дорог (22 - 1)
     • Регион 2: 20 дорог (22 - 2)
     • Регион 3: 19 дорог (22 - 3)
     • ...
     • Регион 20: 2 дороги (22 - 20)

   • Суммируем количество дорог между регионами:

     • Всего дорог из всех регионов: \( 21 + 20 + 19 + ... + 2 \)

   • Это также является суммой арифметической прогрессии, где количество членов равно 19 (от 2 до 21): \[ S = \frac{n(a_1 + a_n)}{2} \]

     • Здесь \( a_1 = 2 \), \( a_n = 21 \), и \( n = 20 - 1 = 19 \): \[ S = \frac{19(2 + 21)}{2} = \frac{19 \times 23}{2} = 218.5 \]

     Поскольку количество дорог должно быть целым числом, то количество дорог между регионами составит 218.

3. Итоговое количество дорог:

   • Подытожим:
     • Дороги от Столицы к регионам: 210
     • Дороги между регионами: 218

Теперь находим общее количество дорог: \[ 210 + 218 = 428 \]

Таким образом, общее количество дорог в этой стране составляет 428 дорог.