Площадь прямоугольного треугольника равно 800 корень 3. Один из острых углов равен 60⁰. Найдите длину гипотенузы

Для нахождения длины гипотенузы прямоугольного треугольника, где площадь равна \(800 \sqrt{3}\) и один из острых углов равен \(60^{\circ}\), можно воспользоваться следующими шагами.

1. Формула площади треугольника: Площадь прямоугольного треугольника выражается как \[ S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b, \] где \(a\) и \(b\) — это длины катетов.

2. Определение сторон треугольника: В треугольнике с углом \(60^{\circ}\) можно использовать соотношения между сторонами. Пусть \(a\) — это катет, прилежащий к углу \(60^{\circ}\), а \(b\) — противолежащий. В таком случае: \[ \frac{b}{a} = \tan(60^{\circ}) = \sqrt{3} \Rightarrow b = a \sqrt{3}. \]

3. Подставляем в формулу площади: \[ S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot (a \sqrt{3}) = \frac{1}{2} a^2 \sqrt{3}. \] Известно, что \(S = 800 \sqrt{3}\). Таким образом, \[ \frac{1}{2} a^2 \sqrt{3} = 800 \sqrt{3}. \] Упрощая уравнение, делим обе стороны на \(\sqrt{3}\): \[ \frac{1}{2} a^2 = 800 \Rightarrow a^2 = 1600 \Rightarrow a = 40. \]

4. Находим второй катет: \[ b = a \sqrt{3} = 40 \sqrt{3}. \]

5. Нахождение длины гипотенузы: Используем теорему Пифагора: \[ c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{40^2 + (40\sqrt{3})^2}. \] Считаем квадрат катетов: \[ c = \sqrt{1600 + 4800} = \sqrt{6400} = 80. \]

Таким образом, длина гипотенузы равна \(80\) единиц.