Решить неравенство 8x²-2x-1/x≤0

Для решения неравенства \( \frac{8x^2 - 2x - 1}{x} \leq 0 \) начнем с анализа числителя и знаменателя.

1. Найдем корни числителя: Решим уравнение \( 8x^2 - 2x - 1 = 0 \) с помощью дискриминанта: \[ D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 8 \cdot (-1) = 4 + 32 = 36 \] Так как дискриминант положителен, у уравнения есть 2 различных корня: \[ x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 - 6}{16} = \frac{-4}{16} = -\frac{1}{4} \] \[ x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 + 6}{16} = \frac{8}{16} = \frac{1}{2} \]

   Таким образом, корни числителя: \( x_1 = -\frac{1}{4} \) и \( x_2 = \frac{1}{2} \).

2. Рассмотрим знаки выражения. Мы определим знаки дроби на интервалах, определенных корнями и нулем знаменателя (который равен нулю в точке \( x = 0 \)). Получим интервалы:

   • \( (-\infty, -\frac{1}{4}) \)
   • \( (-\frac{1}{4}, 0) \)
   • \( (0, \frac{1}{2}) \)
   • \( (\frac{1}{2}, +\infty) \)

3. Определим знаки на каждом интервале:

   • Интервал \( (-\infty, -\frac{1}{4}) \): Выберем \( x = -1 \): \[ \frac{8(-1)^2 - 2(-1) - 1}{-1} = \frac{8 + 2 - 1}{-1} = \frac{9}{-1} < 0 \]

   • Интервал \( (-\frac{1}{4}, 0) \): Выберем \( x = -\frac{1}{8} \): \[ \frac{8(-\frac{1}{8})^2 - 2(-\frac{1}{8}) - 1}{-\frac{1}{8}} = \frac{8 \cdot \frac{1}{64} + \frac{2}{8} - 1}{-\frac{1}{8}} = \frac{\frac{1}{8} + \frac{1}{4} - 1}{-\frac{1}{8}} = \frac{\frac{1}{8} + \frac{2}{8} - \frac{8}{8}}{-\frac{1}{8}} = \frac{-\frac{5}{8}}{-\frac{1}{8}} > 0 \]

   • Интервал \( (0, \frac{1}{2}) \): Выберем \( x = \frac{1}{4} \): \[ \frac{8(\frac{1}{4})^2 - 2(\frac{1}{4}) - 1}{\frac{1}{4}} = \frac{8 \cdot \frac{1}{16} - \frac{1}{2} - 1}{\frac{1}{4}} = \frac{\frac{1}{2} - \frac{1}{2} - 1}{\frac{1}{4}} = \frac{-1}{\frac{1}{4}} < 0 \]

   • Интервал \( (\frac{1}{2}, +\infty) \): Выберем \( x = 1 \): \[ \frac{8(1)^2 - 2(1) - 1}{1} = 8 - 2 - 1 = 5 > 0 \]

4. Подводим итог по знакам:

   • На интервале \( (-\infty, -\frac{1}{4}) \): < 0
   • На интервале \( (-\frac{1}{4}, 0) \): > 0
   • На интервале \( (0, \frac{1}{2}) \): < 0
   • На интервале \( (\frac{1}{2}, +\infty) \): > 0

5. Решим неравенство: Дробь меньше или равна нулю на интервалах \( (-\infty, -\frac{1}{4}) \) и \( (0, \frac{1}{2}) \).

   Также включаем границы, где выражение равно нулю: \( x = -\frac{1}{4} \) и \( x = \frac{1}{2} \).

Таким образом, окончательный ответ: \[ x \in \left(-\infty, -\frac{1}{4}\right] \cup (0, \frac{1}{2}] \]