x² -4x+2>= 0

Чтобы решить неравенство \(x^2 - 4x + 2 \geq 0\), сначала найдем его корни, решая уравнение \(x^2 - 4x + 2 = 0\). Мы можем использовать формулу корней квадратного уравнения:

\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]

В нашем случае \(a = 1\), \(b = -4\), \(c = 2\). Подставим эти значения в формулу:

\[ b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 16 - 8 = 8 \]

Теперь найдем корни:

\[ x = \frac{4 \pm \sqrt{8}}{2 \cdot 1} = \frac{4 \pm 2\sqrt{2}}{2} = 2 \pm \sqrt{2} \]

Корни уравнения: \(x_1 = 2 - \sqrt{2}\) и \(x_2 = 2 + \sqrt{2}\).

Далее определяем промежутки, в которых неравенство выполняется. Мы знаем, что парабола, заданная уравнением \(y = x^2 - 4x + 2\), открывается вверх, так как коэффициент при \(x^2\) положительный.

Давайте проанализируем знаки функции в интервалах, определяемых корнями:

1. \( (-\infty, 2 - \sqrt{2}) \)
2. \( (2 - \sqrt{2}, 2 + \sqrt{2}) \)
3. \( (2 + \sqrt{2}, +\infty) \)

Выберем тестовые значения из каждого интервала:

1. Для \(x < 2 - \sqrt{2}\) (например, \(x = 0\)): \[ 0^2 - 4 \cdot 0 + 2 = 2 > 0 \]
2. Для \(2 - \sqrt{2} < x < 2 + \sqrt{2}\) (например, \(x = 2\)): \[ 2^2 - 4 \cdot 2 + 2 = 4 - 8 + 2 = -2 < 0 \]
3. Для \(x > 2 + \sqrt{2}\) (например, \(x = 5\)): \[ 5^2 - 4 \cdot 5 + 2 = 25 - 20 + 2 = 7 > 0 \]

Таким образом, функция положительна в интервалах \((- \infty, 2 - \sqrt{2}]\) и \([2 + \sqrt{2}, +\infty)\).

Неравенство \(x^2 - 4x + 2 \geq 0\) выполняется для: \[ x \in (-\infty, 2 - \sqrt{2}] \cup [2 + \sqrt{2}, +\infty) \]

Это и есть искомое решение.