Переписывая контрольную работу, Незнайка случайно добавил лишнюю цифру, между первой и второй в результат вычисления. Вместо четного, делящегося на 9, четырехзначного числа, у него получилось в 9 раз большее пятизначное число. Какое наибольшее четырёхзначное число могло получиться у Незнайки в контрольной работе?

Question 1

Задача Задача №1666948

А

Аноним

29 сентября 2024 17:18 · публичный вопрос

А

Аноним 29 сентября 2024 17:18

Переписывая контрольную работу, Незнайка случайно добавил лишнюю цифру, между первой и второй в результат вычисления. Вместо четного, делящегося на 9, четырехзначного числа, у него получилось в 9 раз большее пятизначное число. Какое наибольшее четырёхзначное число могло получиться у Незнайки в контрольной работе?

Answer

Обозначим четное четырехзначное число, которое Незнайка хотел записать, как \(N\). По условиям, это число делится на 9 и имеет вид \(N = 1000a + 100b + 10c + d\), где \(a\), \(b\), \(c\) и \(d\) — цифры числа, а \(d\) — четная цифра (0, 2, 4, 6, 8).

После добавления лишней цифры, полученное пятизначное число будет выглядеть так: \(M = 10000x + 1000a + 100b + 10c + d\), где \(x\) — добавленная цифра.

Согласно условию задачи, это пятизначное число \(M\) в 9 раз больше, чем \(N\): \[ M = 9N. \]

Подставляем \(M\) и \(N\): \[ 10000x + 1000a + 100b + 10c + d = 9(1000a + 100b + 10c + d). \] Раскроем скобки: \[ 10000x + 1000a + 100b + 10c + d = 9000a + 900b + 90c + 9d. \] Теперь соберем все члены на одну сторону: \[ 10000x = 8000a + 800b + 80c + 8d. \] Упростим уравнение, поделив его на 8: \[ 1250x = 1000a + 100b + 10c + d. \]

Таким образом, \(1250x = N\), и значит \(x\) — это цифра, а \(N\) должно быть четырехзначным, то есть: \[ 1000 \leq 1250x < 10000. \] Это дает нам: \[ \frac{1000}{1250} \leq x < \frac{10000}{1250} \Rightarrow 0.8 \leq x < 8, \] где \(x\) — целое число от 1 до 7 (так как речь идет о цифрах).

Здесь мы можем ввести значения для \(x\):

Если \(x = 1\), то \(N = 1250 \cdot 1 = 1250\),
Если \(x = 2\), то \(N = 1250 \cdot 2 = 2500\),
Если \(x = 3\), то \(N = 1250 \cdot 3 = 3750\),
Если \(x = 4\), то \(N = 1250 \cdot 4 = 5000\),
Если \(x = 5\), то \(N = 1250 \cdot 5 = 6250\),
Если \(x = 6\), то \(N = 1250 \cdot 6 = 7500\),
Если \(x = 7\), то \(N = 1250 \cdot 7 = 8750\).

Теперь находим из этих чисел четное, делящееся на 9. Проверяем:

1250: \(1 + 2 + 5 + 0 = 8\) (не делится на 9).
2500: \(2 + 5 + 0 + 0 = 7\) (не делится на 9).
3750: \(3 + 7 + 5 + 0 = 15\) (делится на 9).
5000: \(5 + 0 + 0 + 0 = 5\) (не делится на 9).
6250: \(6 + 2 + 5 + 0 = 13\) (не делится на 9).
7500: \(7 + 5 + 0 + 0 = 12\) (не делится на 9).
8750: \(8 + 7 + 5 + 0 = 20\) (не делится на 9).

Таким образом, единственным подходящим числом, которое является четным, четырехзначным и делится на 9, является \(3750\).

Ответ: 3750.

Question 2

Переписывая контрольную работу, Незнайка случайно добавил лишнюю цифру, между первой и второй в результат вычисления. Вместо четного, делящегося на 9, четырехзначного числа, у него получилось в 9 раз большее пятизначное число. Какое наибольшее четырёхзначное число могло получиться у Незнайки в контрольной работе?

Answer

Обозначим четное четырехзначное число, которое Незнайка хотел записать, как \(N\). По условиям, это число делится на 9 и имеет вид \(N = 1000a + 100b + 10c + d\), где \(a\), \(b\), \(c\) и \(d\) — цифры числа, а \(d\) — четная цифра (0, 2, 4, 6, 8). После добавления лишней цифры, полученное пятизначное число будет выглядеть так: \(M = 10000x + 1000a + 100b + 10c + d\), где \(x\) — добавленная цифра. Согласно условию задачи, это пятизначное число \(M\) в 9 раз больше, чем \(N\): \[ M = 9N. \] Подставляем \(M\) и \(N\): \[ 10000x + 1000a + 100b + 10c + d = 9(1000a + 100b + 10c + d). \] Раскроем скобки: \[ 10000x + 1000a + 100b + 10c + d = 9000a + 900b + 90c + 9d. \] Теперь соберем все члены на одну сторону: \[ 10000x = 8000a + 800b + 80c + 8d. \] Упростим уравнение, поделив его на 8: \[ 1250x = 1000a + 100b + 10c + d. \] Таким образом, \(1250x = N\), и значит \(x\) — это цифра, а \(N\) должно быть четырехзначным, то есть: \[ 1000 \leq 1250x < 10000. \] Это дает нам: \[ \frac{1000}{1250} \leq x < \frac{10000}{1250} \Rightarrow 0.8 \leq x < 8, \] где \(x\) — целое число от 1 до 7 (так как речь идет о цифрах). Здесь мы можем ввести значения для \(x\): - Если \(x = 1\), то \(N = 1250 \cdot 1 = 1250\), - Если \(x = 2\), то \(N = 1250 \cdot 2 = 2500\), - Если \(x = 3\), то \(N = 1250 \cdot 3 = 3750\), - Если \(x = 4\), то \(N = 1250 \cdot 4 = 5000\), - Если \(x = 5\), то \(N = 1250 \cdot 5 = 6250\), - Если \(x = 6\), то \(N = 1250 \cdot 6 = 7500\), - Если \(x = 7\), то \(N = 1250 \cdot 7 = 8750\). Теперь находим из этих чисел четное, делящееся на 9. Проверяем: - 1250: \(1 + 2 + 5 + 0 = 8\) (не делится на 9). - 2500: \(2 + 5 + 0 + 0 = 7\) (не делится на 9). - 3750: \(3 + 7 + 5 + 0 = 15\) (делится на 9). - 5000: \(5 + 0 + 0 + 0 = 5\) (не делится на 9). - 6250: \(6 + 2 + 5 + 0 = 13\) (не делится на 9). - 7500: \(7 + 5 + 0 + 0 = 12\) (не делится на 9). - 8750: \(8 + 7 + 5 + 0 = 20\) (не делится на 9). Таким образом, единственным подходящим числом, которое является четным, четырехзначным и делится на 9, является \(3750\). Ответ: **3750**.