(x+5)(x-6)/6x+1≤0

Чтобы решить неравенство \((x+5)(x-6)/(6x+1) \leq 0\), следует рассмотреть несколько шагов.

Шаг 1: Найти нули числителя и знаменателя

1. Числитель: \((x+5)(x-6)\)

   • Нули числителя: \(x + 5 = 0 \Rightarrow x = -5\) и \(x - 6 = 0 \Rightarrow x = 6\).

2. Знаменатель: \(6x + 1\)

   • Нулевое значение знаменателя: \(6x + 1 = 0 \Rightarrow x = -\frac{1}{6}\).

Шаг 2: Определить знаки функций на промежутках

Теперь нам нужно определить знаки дроби на интервалах, которые образуют найденные значения: \(-\infty\), \(-5\), \(-\frac{1}{6}\), \(6\) и \(+\infty\).

• Интервал \((-∞, -5)\):

  • Числитель: положительный (так как оба множителя большие нуля)
  • Знаменатель: отрицательный (так как \(x < -\frac{1}{6}\))
  • Общий знак: отрицательный

• Интервал \((-5, -\frac{1}{6})\):

  • Числитель: отрицательный (один множитель отрицательная, другой положительный)
  • Знаменатель: отрицательный
  • Общий знак: положительный

• Интервал \((- \frac{1}{6}, 6)\):

  • Числитель: положительный (оба множителя положительные)
  • Знаменатель: положительный
  • Общий знак: положительный

• Интервал \((6, +\infty)\):

  • Числитель: положительный
  • Знаменатель: положительный
  • Общий знак: положительный

Шаг 3: Составить неравенство

Мы ищем, когда дробь меньше или равна нулю: \[ \frac{(x+5)(x-6)}{6x+1} \leq 0 \]

На основе анализа знаков, единый промежуток, при котором дробь меньше или равна нулю, включает интервал: \((-∞, -5]\).

Шаг 4: Проверка значений на границах

• При \(x = -5\): \(\frac{(0)(-11)}{-29} = 0\) (входит)
• При \(x = -\frac{1}{6}\): дробь неопределена, не входит в решение.
• При \(x = 6\): \(\frac{(11)(0)}{37} = 0\) (входит)

Ответ

Таким образом, решение неравенства: \[ x \in (-\infty, -5] \cup (6, +\infty) \]

Вы можете использовать эти шаги для практики с другими неравенствами! Если есть дополнительные вопросы, не стесняйтесь задавать!