Комплексные числа z1=1-i, z2=- √3+i представить в тригонометрической форме и найти: а) z1*z2; б) z1/z2; в) z1^28; г)

Чтобы представить комплексные числа в тригонометрической форме, нам нужно найти их модуль и аргумент.

1. Для z₁ = 1 - i:

   Модуль: \[ |z₁| = \sqrt{1^2 + (-1)^2} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2} \]

   Аргумент: Аргумент можно найти, используя тангенс: \[ \arg(z₁) = \tan^{-1}\left(\frac{-1}{1}\right) = \tan^{-1}(-1) = -\frac{\pi}{4} \, (\text{или } \frac{7\pi}{4} \text{ в пределах } [0, 2\pi]) \]

   Тригонометрическая форма: \[ z₁ = |z₁| \left( \cos\left(-\frac{\pi}{4}\right) + i \sin\left(-\frac{\pi}{4}\right) \right) = \sqrt{2} \left( \cos\left(-\frac{\pi}{4}\right) + i \sin\left(-\frac{\pi}{4}\right) \right) \]

2. Для z₂ = -\sqrt{3} + i:

   Модуль: \[ |z₂| = \sqrt{(-\sqrt{3})^2 + 1^2} = \sqrt{3 + 1} = 2 \]

   Аргумент: \[ \arg(z₂) = \tan^{-1}\left(\frac{1}{-\sqrt{3}}\right) = \frac{\pi}{6} + \pi = \frac{7\pi}{6} \]

   Тригонометрическая форма: \[ z₂ = |z₂| \left( \cos\left(\frac{7\pi}{6}\right) + i \sin\left(\frac{7\pi}{6}\right) \right) = 2 \left( \cos\left(\frac{7\pi}{6}\right) + i \sin\left(\frac{7\pi}{6}\right) \right) \]

Теперь мы имеем тригонометрические формы обоих чисел.

Теперь можно выполнить необходимые операции:

а) Произведение z₁ * z₂: \[ z₁ \cdot z₂ = |z₁| \cdot |z₂| \left( \cos(\arg(z₁) + \arg(z₂)) + i \sin(\arg(z₁) + \arg(z₂)) \right) \] \[ = \sqrt{2} \cdot 2 \left( \cos\left(-\frac{\pi}{4} + \frac{7\pi}{6}\right) + i \sin\left(-\frac{\pi}{4} + \frac{7\pi}{6}\right) \right) \]

Вычисляем аргумент: \[ -\frac{\pi}{4} + \frac{7\pi}{6} = -\frac{\pi}{4} + \frac{14\pi}{12} = -\frac{\pi}{4} + \frac{7\pi}{6} = \frac{10\pi}{12} - \frac{3\pi}{12} = \frac{7\pi}{12} \] Итак, модуль: \[ \sqrt{2} \cdot 2 = 2\sqrt{2} \] Таким образом: \[ z₁ \cdot z₂ = 2\sqrt{2} \left( \cos\left(\frac{7\pi}{12}\right) + i \sin\left(\frac{7\pi}{12}\right) \right) \]

б) Деление z₁ / z₂: \[ \frac{z₁}{z₂} = \frac{|z₁|}{|z₂|} \left( \cos(\arg(z₁) - \arg(z₂)) + i \sin(\arg(z₁) - \arg(z₂)) \right) \] \[ = \frac{\sqrt{2}}{2} \left( \cos\left(-\frac{\pi}{4} - \frac{7\pi}{6}\right) + i \sin\left(-\frac{\pi}{4} - \frac{7\pi}{6}\right) \right) \] Вычисляем аргумент: \[ -\frac{\pi}{4} - \frac{7\pi}{6} = -\frac{3\pi}{12} - \frac{14\pi}{12} = -\frac{17\pi}{12} \] Прибавим \(2\pi\): \[ -\frac{17\pi}{12} + 2\pi = -\frac{17\pi}{12} + \frac{24\pi}{12} = \frac{7\pi}{12} \] Итак, модуль остается \(\frac{\sqrt{2}}{2}\): \[ \frac{z₁}{z₂} = \frac{\sqrt{2}}{2} \left( \cos\left(-\frac{17\pi}{12}\right) + i \sin\left(-\frac{17\pi}{12}\right) \right) \]

в) Возведение в степень z₁^28: Для вычисления \(z₁^{28}\), используем формулу: \[ z₁^{n} = |z₁|^{n} \left( \cos(n \cdot \arg(z₁)) + i \sin(n \cdot \arg(z₁)) \right) \] \[ = (\sqrt{2})^{28} \left( \cos\left(28 \cdot -\frac{\pi}{4}\right) + i \sin\left(28 \cdot -\frac{\pi}{4}\right) \right) \] \[ = 2^{14} \left( \cos\left(-7\pi\right) + i \sin\left(-7\pi\right) \right) \] Так как \(\cos(-7\pi) = -1\) и \(\sin(-7\pi) = 0\): \[ z₁^{28} = 16384 \cdot (-1) = -16384 \]

Таким образом, результаты вычислений: а) \(z₁ \cdot z₂ = 2\sqrt{2} \left( \cos\left(\frac{7\pi}{12}\right) + i \sin\left(\frac{7\pi}{12}\right) \right)\)

б) \(\frac{z₁}{z₂} = \frac{\sqrt{2}}{2} \left( \cos\left(\frac{7\pi}{12}\right) + i \sin\left(\frac{7\pi}{12}\right) \right)\)

в) \(z₁^{28} = -16384\)