x²-14x+48/x+7>0

Чтобы решить неравенство \(\frac{x^2 - 14x + 48}{x + 7} > 0\), сначала упростим выражение в числителе.

1. Факторизуем числитель: Мы ищем корни квадратного уравнения \(x^2 - 14x + 48 = 0\). Для этого найдем дискриминант: \[ D = b^2 - 4ac = (-14)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 48 = 196 - 192 = 4 \] Теперь найдем корни с помощью формулы: \[ x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{14 + 2}{2} = 8, \quad x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{14 - 2}{2} = 6 \] Таким образом, можем записать: \[ x^2 - 14x + 48 = (x - 6)(x - 8) \]

2. Переписываем неравенство: Теперь неравенство можно записать как: \[ \frac{(x - 6)(x - 8)}{x + 7} > 0 \]

3. Находим нули и точку разрыва: Нули числителя: \(x = 6\) и \(x = 8\). Ноль знаменателя: \(x = -7\). Теперь у нас есть три ключевые точки: \(-7\), \(6\) и \(8\).

4. Определяем промежутки: Рассмотрим знаки на промежутках:

   • Промежуток \((-∞, -7)\): Выбираем \(x = -8\): \[ \frac{(-8 - 6)(-8 - 8)}{-8 + 7} = \frac{(-14)(-16)}{-1} = \frac{224}{-1} < 0 \]
   • Промежуток \((-7, 6)\): Выбираем \(x = 0\): \[ \frac{(-6)(-8)}{7} = \frac{48}{7} > 0 \]
   • Промежуток \((6, 8)\): Выбираем \(x = 7\): \[ \frac{(1)(-1)}{14} = \frac{-1}{14} < 0 \]
   • Промежуток \((8, +∞)\): Выбираем \(x = 9\): \[ \frac{(3)(1)}{16} = \frac{3}{16} > 0 \]

5. Итоговые интервалы: На основе анализа интервалов мы видим, что неравенство выполняется на следующих отрезках: \[ (-7, 6) \cup (8, +\infty) \]

Таким образом, решение неравенства \(\frac{x^2 - 14x + 48}{x + 7} > 0\) будет: \[ x \in (-7, 6) \cup (8, +\infty) \]

Если будут дополнительные вопросы, не стесняйтесь задавать!