Дана прямоугольная трапеция MNKL , основания которой равны 4 и 6 см. Чему равна наибольшая боковая сторона трапеции, если один из её углов трапеции 60° ?

Для решения задачи начнем с того, что обозначим основания трапеции \(MN\) и \(KL\) равными 4 см и 6 см соответственно. Обозначим боковую сторону \(MK\) (или \(NL\)) как \(x\). Угол, который мы знаем, равен \(60^\circ\).

Так как у нас прямоугольная трапеция, один из углов всегда будет прямым (90°), что даст нам возможность воспользоваться свойствами треугольника, который образуется проведением высоты из точки \(K\) (или \(L\)) на одно из оснований.

Пусть \(h\) — высота трапеции. Мы можем выразить отношения в треугольнике \(MKL\):

• Применим тригонометрические функции. В этом случае: \[ \sin(60^\circ) = \frac{h}{x} \] \[ \cos(60^\circ) = \frac{b}{x} \] где \(b\) — это проекция боковой стороны на основание 6 см.

Зная, что \(\sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}\) и \(\cos(60^\circ) = \frac{1}{2}\), получаем:

1. Высота: \[ h = x \cdot \sin(60^\circ) = x \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \]

2. Проекция боковой стороны (разница оснований): \[ b = 6 - 4 = 2 \text{ см} \] \[ 2 = x \cdot \cos(60^\circ) = x \cdot \frac{1}{2} \] Отсюда: \[ x = 2 \cdot 2 = 4 \text{ см} \]

Теперь подставим значение \(x\) обратно в формулу для высоты: \[ h = 4 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3} \text{ см} \]

Таким образом, наибольшая боковая сторона трапеции \(MNKL\) равна 4 см.