Дана правильная шестиугольная пирамида с площадью основания равной 54/3 и высотой 8. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды. В ответе укажите только число, которое получилось под корнем (например, из 5/2 указать только 2).

Question 1

Задача Задача №1667272

А

Аноним

29 сентября 2024 17:42 · публичный вопрос

А

Аноним 29 сентября 2024 17:42

Дана правильная шестиугольная пирамида с площадью основания равной 54/3 и высотой 8. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды. В ответе укажите только число, которое получилось под корнем (например, из 5/2 указать только 2).

Answer

Для нахождения площади боковой поверхности правильной шестиугольной пирамиды, сначала найдем апофему пирамиды.

Шаг 1: Найдем сторону основания. Площадь правильного шестиугольника вычисляется по формуле: \[ S = \frac{3\sqrt{3}}{2} a^2 \] где \(S\) — площадь шестиугольника, \(a\) — сторона шестиугольника.

У нас площадь основания равна \( \frac{54}{3} = 18 \). Сравним: \[ \frac{3\sqrt{3}}{2} a^2 = 18 \] Решим это уравнение для нахождения \(a^2\): \[ a^2 = \frac{18 \cdot 2}{3\sqrt{3}} = \frac{36}{3\sqrt{3}} = \frac{12}{\sqrt{3}} = 12 \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} = 4\sqrt{3} \]

Шаг 2: Найдем высоту боковой грани. Теперь найдем апофему \(l\) пирамиды. Для этого найдем расстояние от центра основания до середины стороны шестиугольника: \[ R = \frac{a}{\sqrt{3}} \quad (\text{радиус описанной окружности}) \]

Подставим: \[ R = \frac{a}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{4\sqrt{3}}}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{4} \cdot \sqrt[4]{3}}{\sqrt{3}} = \frac{2 \cdot \sqrt[4]{3}}{\sqrt{3}} = \frac{2 \cdot \sqrt[4]{3}}{\sqrt{3}} = 2\cdot \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{2\sqrt{3}}{3} \]

Теперь найдем апофему по теореме Пифагора: \[ l = \sqrt{h^2 + R^2} \] где \(h = 8\): \[ l = \sqrt{8^2 + \left(\frac{2\sqrt{3}}{3}\right)^2} = \sqrt{64 + \frac{4 \cdot 3}{9}} = \sqrt{64 + \frac{12}{9}} = \sqrt{64 + \frac{4}{3}} = \sqrt{64 + 1.3333} \approx \sqrt{65.3333} = \sqrt{\frac{196}{3}} = \sqrt{85.3333} \]

Шаг 3: Найдем площадь боковой поверхности. Площадь боковой поверхности равна: \[ S_{бок} = \frac{6}{2} a l = 3 a l \]

Подставляем значения: \[ a = \sqrt{4\sqrt{3}} = 2 \cdot 3^{1/4}, \quad l = \sqrt{64 + \frac{4}{3}} \text{ или } \sqrt{\frac{196}{3}} \]

Итак, найдем сам объем: Подставляем \(S_{бок}\): \[ S_{бок} = 3 \cdot \sqrt{4\sqrt{3}} \cdot \sqrt{\frac{196}{3}} \]

Упростим: \[ S_{бок} = 3 \cdot 2 \cdot 3^{1/4} \cdot \sqrt{\frac{196}{3}} = 6 \cdot 3^{1/4} \cdot \sqrt{\frac{196}{3}} = 6 \cdot 3^{1/4} \cdot \sqrt{196} / \sqrt{3} \] \[ = 6 \cdot 14 / 3^{1/2} \] \[ = \frac{84}{\sqrt{3}} \]

Ответ под корнем: \[ 84 \]

\(\underline{Ответ: \quad 84}\)

Question 2

Дана правильная шестиугольная пирамида с площадью основания равной 54/3 и высотой 8. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды. В ответе укажите только число, которое получилось под корнем (например, из 5/2 указать только 2).

Answer

Для нахождения площади боковой поверхности правильной шестиугольной пирамиды, сначала найдем апофему пирамиды. **Шаг 1: Найдем сторону основания.** Площадь правильного шестиугольника вычисляется по формуле: \[ S = \frac{3\sqrt{3}}{2} a^2 \] где \(S\) — площадь шестиугольника, \(a\) — сторона шестиугольника. У нас площадь основания равна \( \frac{54}{3} = 18 \). Сравним: \[ \frac{3\sqrt{3}}{2} a^2 = 18 \] Решим это уравнение для нахождения \(a^2\): \[ a^2 = \frac{18 \cdot 2}{3\sqrt{3}} = \frac{36}{3\sqrt{3}} = \frac{12}{\sqrt{3}} = 12 \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} = 4\sqrt{3} \] **Шаг 2: Найдем высоту боковой грани.** Теперь найдем апофему \(l\) пирамиды. Для этого найдем расстояние от центра основания до середины стороны шестиугольника: \[ R = \frac{a}{\sqrt{3}} \quad (\text{радиус описанной окружности}) \] Подставим: \[ R = \frac{a}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{4\sqrt{3}}}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{4} \cdot \sqrt[4]{3}}{\sqrt{3}} = \frac{2 \cdot \sqrt[4]{3}}{\sqrt{3}} = \frac{2 \cdot \sqrt[4]{3}}{\sqrt{3}} = 2\cdot \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{2\sqrt{3}}{3} \] Теперь найдем апофему по теореме Пифагора: \[ l = \sqrt{h^2 + R^2} \] где \(h = 8\): \[ l = \sqrt{8^2 + \left(\frac{2\sqrt{3}}{3}\right)^2} = \sqrt{64 + \frac{4 \cdot 3}{9}} = \sqrt{64 + \frac{12}{9}} = \sqrt{64 + \frac{4}{3}} = \sqrt{64 + 1.3333} \approx \sqrt{65.3333} = \sqrt{\frac{196}{3}} = \sqrt{85.3333} \] **Шаг 3: Найдем площадь боковой поверхности.** Площадь боковой поверхности равна: \[ S_{бок} = \frac{6}{2} a l = 3 a l \] Подставляем значения: \[ a = \sqrt{4\sqrt{3}} = 2 \cdot 3^{1/4}, \quad l = \sqrt{64 + \frac{4}{3}} \text{ или } \sqrt{\frac{196}{3}} \] Итак, найдем сам объем: Подставляем \(S_{бок}\): \[ S_{бок} = 3 \cdot \sqrt{4\sqrt{3}} \cdot \sqrt{\frac{196}{3}} \] Упростим: \[ S_{бок} = 3 \cdot 2 \cdot 3^{1/4} \cdot \sqrt{\frac{196}{3}} = 6 \cdot 3^{1/4} \cdot \sqrt{\frac{196}{3}} = 6 \cdot 3^{1/4} \cdot \sqrt{196} / \sqrt{3} \] \[ = 6 \cdot 14 / 3^{1/2} \] \[ = \frac{84}{\sqrt{3}} \] Ответ под корнем: \[ 84 \] \(\underline{Ответ: \quad 84}\)