плот проплывает 60 км по течению реки на 5 ч быстрее, чем такое же расстояние проходит моторная лодка против течения. найдите скорость лодки по течению, если её скорость в стоячей…
Плот проплывает 60 км по течению реки на 5 ч быстрее, чем такое же расстояние проходит моторная лодка против течения. найдите скорость лодки по течению, если её скорость в стоячей воде 10 км/ч
Давайте разберем задачу шаг за шагом.
- Обозначим:
- \( v \) — скорость лодки по течению,
- 10 км/ч — скорость лодки в стоячей воде,
- \( v_t \) — скорость течения реки.
В таком случае скорость лодки по течению будет равна \( v + v_t \), а против течения — \( v - v_t \). Поскольку мы знаем, что скорость лодки в стоячей воде составляет 10 км/ч, то:
- По течению: \( v + v_t = 10 + v_t \)
- Против течения: \( v - v_t = 10 - v_t \)
- Из условия задачи известно, что плот проплывает 60 км по течению на 5 часов быстрее, чем лодка плывет это же расстояние против течения.
Сначала вычислим время, которое требуется плоту, чтобы проплыть 60 км по течению:
\[ t_{\text{плот}} = \frac{60}{10 + v_t} \]
Теперь найдем время, необходимое лодке для прохождения того же 60 км против течения:
\[ t_{\text{лодка}} = \frac{60}{10 - v_t} \]
- По условию задачи мы знаем, что:
\[ t_{\text{лодка}} - t_{\text{плот}} = 5 \text{ ч} \]
- Подставим полученные формулы в это уравнение:
\[ \frac{60}{10 - v_t} - \frac{60}{10 + v_t} = 5 \]
- Умножим обе стороны на \( (10 - v_t)(10 + v_t) \) для исключения знаменателей:
\[ 60(10 + v_t) - 60(10 - v_t) = 5(10 - v_t)(10 + v_t) \]
Упростим:
\[ 60v_t + 60v_t = 5(100 - v_t^2) \]
\[ 120v_t = 500 - 5v_t^2 \]
- Преобразуем уравнение в стандартный вид:
\[ 5v_t^2 + 120v_t - 500 = 0 \]
- Теперь применим квадратное уравнение:
\[ v_t^2 + 24v_t - 100 = 0 \]
- Решим это уравнение с помощью дискриминанта:
\[ D = b^2 - 4ac = 24^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-100) = 576 + 400 = 976 \]
- Находим корни уравнения:
\[ v_t = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-24 \pm \sqrt{976}}{2} \]
Подсчитываем:
\[ \sqrt{976} \approx 31.24 \implies v_t \approx \frac{-24 \pm 31.24}{2} \]
- Найдя два возможных значения:
\[ v_t \approx \frac{7.24}{2} \approx 3.62 \quad \text{или} \quad v_t \approx \frac{-55.24}{2} \approx -27.62 \]
Оставляем только положительное значение \( v_t \approx 3.62 \) км/ч.
- Теперь можем найти скорость лодки по течению:
\[ v + v_t = 10 + 3.62 \approx 13.62 \text{ км/ч} \]
Ответ: скорость лодки по течению составляет примерно 13.62 км/ч.
