Давайте разберем задачу шаг за шагом.
- Обозначим:
- ( v ) — скорость лодки по течению,
- 10 км/ч — скорость лодки в стоячей воде,
- ( v_t ) — скорость течения реки.
В таком случае скорость лодки по течению будет равна ( v + v_t ), а против течения — ( v - v_t ). Поскольку мы знаем, что скорость лодки в стоячей воде составляет 10 км/ч, то:
- По течению: ( v + v_t = 10 + v_t )
- Против течения: ( v - v_t = 10 - v_t )
- Из условия задачи известно, что плот проплывает 60 км по течению на 5 часов быстрее, чем лодка плывет это же расстояние против течения.
Сначала вычислим время, которое требуется плоту, чтобы проплыть 60 км по течению:
[
t_{\text{плот}} = \frac{60}{10 + v_t}
]
Теперь найдем время, необходимое лодке для прохождения того же 60 км против течения:
[
t_{\text{лодка}} = \frac{60}{10 - v_t}
]
- По условию задачи мы знаем, что:
[
t_{\text{лодка}} - t_{\text{плот}} = 5 \text{ ч}
]
- Подставим полученные формулы в это уравнение:
[
\frac{60}{10 - v_t} - \frac{60}{10 + v_t} = 5
]
- Умножим обе стороны на ( (10 - v_t)(10 + v_t) ) для исключения знаменателей:
[
60(10 + v_t) - 60(10 - v_t) = 5(10 - v_t)(10 + v_t)
]
Упростим:
[
60v_t + 60v_t = 5(100 - v_t^2)
]
[
120v_t = 500 - 5v_t^2
]
- Преобразуем уравнение в стандартный вид:
[
5v_t^2 + 120v_t - 500 = 0
]
- Теперь применим квадратное уравнение:
[
v_t^2 + 24v_t - 100 = 0
]
- Решим это уравнение с помощью дискриминанта:
[
D = b^2 - 4ac = 24^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-100) = 576 + 400 = 976
]
- Находим корни уравнения:
[
v_t = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-24 \pm \sqrt{976}}{2}
]
Подсчитываем:
[
\sqrt{976} \approx 31.24 \implies v_t \approx \frac{-24 \pm 31.24}{2}
]
- Найдя два возможных значения:
[
v_t \approx \frac{7.24}{2} \approx 3.62 \quad \text{или} \quad v_t \approx \frac{-55.24}{2} \approx -27.62
]
Оставляем только положительное значение ( v_t \approx 3.62 ) км/ч.
- Теперь можем найти скорость лодки по течению:
[
v + v_t = 10 + 3.62 \approx 13.62 \text{ км/ч}
]
Ответ: скорость лодки по течению составляет примерно 13.62 км/ч.
