2. (1 балл) через точку а окружности с центром в точке 0 радиуса r проведены касательная са и хорда ав, угол между которыми 45°. найдите длину ав (рис. 1).
Для решения задачи о длине хорды \( AB \) в окружности с центром в точке \( O \) и радиусом \( r \), где проведены касательная \( CA \) и хорда \( AB \) под углом 45°, воспользуемся геометрическими свойствами окружности.
Обозначим точки и параметры: Пусть точка \( A \) находится на окружности, а точка \( C \) — на касательной, проведенной в точке \( A \). Известно, что угол между касательной \( CA \) и хордой \( AB \) равен 45°.
Используем треугольник: Поскольку \( OA = r \) (радиус), и \( OA \) перпендикулярна касательной \( CA \), то треугольник \( OAC \) является прямоугольным.
- Угол \( OAC = 90° \).
- Угол \( CAB = 45° \).
Определяем угол \( OAB \): Поскольку сумма углов в треугольнике \( OAB \) равна 180°, имеем: \[ OAB = 90° - CAB = 90° - 45° = 45°. \]
Формула для длины хорды: Длина хорды \( AB \) в окружности может быть найдена по формуле: \[ AB = 2r \cdot \sin\left(\frac{OAB}{2}\right). \] Подставляем значения: \[ OAB = 45°, \quad \frac{OAB}{2} = 22.5°. \] Таким образом, \[ AB = 2r \cdot \sin(22.5°). \]
Находим значение \(\sin(22.5°)\): Используя формулу для синуса половинного угла: \[ \sin(22.5°) = \sqrt{\frac{1 - \cos(45°)}{2}} = \sqrt{\frac{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}} = \sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{4}} = \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}. \]
Подставляем: Теперь можно подставить это значение в формулу для длины хорды: \[ AB = 2r \cdot \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} = r \cdot \sqrt{2 - \sqrt{2}}. \]
Таким образом, длина хорды \( AB \) равна \( r \cdot \sqrt{2 - \sqrt{2}} \).
