2. (1 балл) через точку а окружности с центром в точке 0 радиуса r проведены касательная са и хорда ав, угол между которыми 45°. найдите длину ав (рис. 1). дано
Чтобы найти длину хорды \( AB \) в окружности с центром в точке \( O \) и радиусом \( r \), где угол между касательной \( CA \) и хордой \( AB \) равен \( 45^\circ \), давайте внесем немного математики.
Известно, что угол между касательной и радиусом, проведённым в точку касания (в данном случае в точку \( A \)), равен углу между касательной \( CA \) и хордой \( AB \). То есть угол \( OAC \) также равен \( 45^\circ \).
Теперь, если обозначить длину отрезка \( OA \) (радиус) как \( r \), то в треугольнике \( OAC \), где угол \( OAC = 45^\circ \), мы можем использовать свойства тригонометрии.
В этом треугольнике: \[ AC = OA \cdot \tan(45^\circ) = r \cdot 1 = r \] То есть длина отрезка \( AC \) равна \( r \).
Теперь давайте рассмотрим треугольник \( OAB \). Согласно свойствам окружности, если у нас есть угол \( AOB \) при вершине \( O \), то мы можем использовать формулу для длины хорды.
Если угол \( AOB \) равен \( 90^\circ \) (поскольку касательная и хорда пересекаются под углом \( 45^\circ \)), то \[ AB = 2 \cdot OA \cdot \sin\left(\frac{AOB}{2}\right) = 2 \cdot r \cdot \sin(45^\circ) \]
Поскольку \( \sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2} \), формула становится: \[ AB = 2 \cdot r \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = r \sqrt{2} \]
Таким образом, длина хорды \( AB \) равна \( r \sqrt{2} \).
