Вычисли площадь закрашенного сектора и площадь незакрашенного сектора , если радиусом круга равен 2 и центральный угол закрашенного сектора равен 72°
Чтобы вычислить площади закрашенного и незакрашенного секторов круга, нам нужно воспользоваться следующими формулами.
Площадь круга определяется по формуле: \[ S = \pi r^2 \] где \( r \) — радиус круга.
Площадь сектора круга можно рассчитать по формуле: \[ S_{\text{сектор}} = \frac{\alpha}{360^\circ} \cdot S_{\text{круга}} \] где \( \alpha \) — центральный угол сектора в градусах.
Дано, что радиус \( r = 2 \) и центральный угол закрашенного сектора \( \alpha = 72^\circ \).
Сначала найдем площадь круга: \[ S_{\text{круга}} = \pi \cdot (2)^2 = 4\pi. \]
Теперь можно найти площадь закрашенного сектора: \[ S_{\text{закрашенный сектор}} = \frac{72^\circ}{360^\circ} \cdot 4\pi = \frac{1}{5} \cdot 4\pi = \frac{4\pi}{5}. \]
Следовательно, площадь закрашенного сектора составляет \( \frac{4\pi}{5} \) квадратных единиц.
Теперь найдем площадь незакрашенного сектора. Площадь незакрашенного сектора равна площади круга минус площадь закрашенного сектора: \[ S_{\text{незакрашенный сектор}} = S_{\text{круга}} - S_{\text{закрашенный сектор}} = 4\pi - \frac{4\pi}{5}. \]
Для того чтобы выполнить вычитание, приведем \( 4\pi \) к общему знаменателю: \[ 4\pi = \frac{20\pi}{5}. \]
Теперь сделаем вычитание: \[ S_{\text{незакрашенный сектор}} = \frac{20\pi}{5} - \frac{4\pi}{5} = \frac{16\pi}{5}. \]
Таким образом, площади секторов составляют:
- Закрашенный сектор: \( \frac{4\pi}{5} \) квадратных единиц.
- Незакрашенный сектор: \( \frac{16\pi}{5} \) квадратных единиц.
