Чтобы вычислить площади закрашенного и незакрашенного секторов круга, нам нужно воспользоваться следующими формулами.
Площадь круга определяется по формуле:
[ S = \pi r^2 ]
где ( r ) — радиус круга.
Площадь сектора круга можно рассчитать по формуле:
[ S_{\text{сектор}} = \frac{\alpha}{360^\circ} \cdot S_{\text{круга}} ]
где ( \alpha ) — центральный угол сектора в градусах.
Дано, что радиус ( r = 2 ) и центральный угол закрашенного сектора ( \alpha = 72^\circ ).
Сначала найдем площадь круга:
[ S_{\text{круга}} = \pi \cdot (2)^2 = 4\pi. ]
Теперь можно найти площадь закрашенного сектора:
[ S_{\text{закрашенный сектор}} = \frac{72^\circ}{360^\circ} \cdot 4\pi = \frac{1}{5} \cdot 4\pi = \frac{4\pi}{5}. ]
Следовательно, площадь закрашенного сектора составляет ( \frac{4\pi}{5} ) квадратных единиц.
Теперь найдем площадь незакрашенного сектора. Площадь незакрашенного сектора равна площади круга минус площадь закрашенного сектора:
[ S_{\text{незакрашенный сектор}} = S_{\text{круга}} - S_{\text{закрашенный сектор}} = 4\pi - \frac{4\pi}{5}. ]
Для того чтобы выполнить вычитание, приведем ( 4\pi ) к общему знаменателю:
[ 4\pi = \frac{20\pi}{5}. ]
Теперь сделаем вычитание:
[ S_{\text{незакрашенный сектор}} = \frac{20\pi}{5} - \frac{4\pi}{5} = \frac{16\pi}{5}. ]
Таким образом, площади секторов составляют:
- Закрашенный сектор: ( \frac{4\pi}{5} ) квадратных единиц.
- Незакрашенный сектор: ( \frac{16\pi}{5} ) квадратных единиц.
