Числа a, b и √a+ √b - рациональные. Докажите, что √a и √b - рациональные числа.

По определению, рациональные числа могут быть представлены в виде дроби, где числитель и знаменатель являются целыми числами. Пусть √a и √b – иррациональные числа. Это значит, что нельзя представить их в виде дробей.

Теперь предположим, что √a+ √b – рациональное число. Тогда его можно представить в виде дроби p/q, где p и q – целые числа и q не равно нулю.

Итак, √a+ √b = p/q.

Теперь возводим обе части уравнения в квадрат:

(√a+ √b)^2 = (p/q)^2.

a + 2√ab + b = p^2/q^2.

Разделим обе части на 2:

√ab = (p^2/q^2 - a - b)/2.

Таким образом, √ab должно быть рациональным числом, так как его можно представить в виде дроби с целыми числами в числителе и знаменателе.

Но мы предположили в начале, что √a и √b - иррациональные числа, что противоречит нашему выводу. Следовательно, предположение неверно, и на самом деле √a и √b - также рациональные числа.

Таким образом, доказано, что если √a+ √b - рациональное число, то √a и √b оба являются рациональными числами.