Периметр треугольника BCD равен 9 см, что в два раза меньше,чем периметр треугольника BAF,и втри раза меньше, чем периметр треугольника FED. Известно, что периметр треугольника FBD — натуральное число,равное полусумме периметров каких-то двух из уже рассмотренных треугольников чему равен периметр многоугольника ABCDEF?

Для решения задачи начнем с того, что известно о периметрах треугольников.

1. Периметр треугольника BCD равен 9 см.
2. Периметр треугольника BAF в 2 раза больше, чем периметр BCD: \[ P_{BAF} = 2 \times P_{BCD} = 2 \times 9 = 18 \text{ см}. \]
3. Периметр треугольника FED в 3 раза больше, чем периметр BCD: \[ P_{FED} = 3 \times P_{BCD} = 3 \times 9 = 27 \text{ см}. \]

Теперь у нас есть следующие значения:

• \( P_{BCD} = 9 \text{ см} \)
• \( P_{BAF} = 18 \text{ см} \)
• \( P_{FED} = 27 \text{ см} \)

Далее, мы знаем, что периметр треугольника FBD является полусуммой периметров каких-то двух из рассматриваемых треугольников. Мы можем вычислить возможные варианты:

1. Полусумма периметров BCD и BAF: \[ P_{FBD} = \frac{P_{BCD} + P_{BAF}}{2} = \frac{9 + 18}{2} = \frac{27}{2} = 13.5 \text{ (не натуральное число)}. \]

2. Полусумма периметров BCD и FED: \[ P_{FBD} = \frac{P_{BCD} + P_{FED}}{2} = \frac{9 + 27}{2} = \frac{36}{2} = 18 \text{ (натуральное число)}. \]

3. Полусумма периметров BAF и FED: \[ P_{FBD} = \frac{P_{BAF} + P_{FED}}{2} = \frac{18 + 27}{2} = \frac{45}{2} = 22.5 \text{ (не натуральное число)}. \]

Таким образом, единственный подходящий вариант: \[ P_{FBD} = 18 \text{ см}. \]

Теперь суммируем периметры многогранника ABCDEF: \[ P_{ABCDEF} = P_{BCD} + P_{BAF} + P_{FED} + P_{FBD} = 9 + 18 + 27 + 18 = 72 \text{ см}. \]

Итак, периметр многоугольника ABCDEF равен 72 см.