X³-4x²-9x+36=0 решите с помощью вынесения общего множителя за скобки
Чтобы решить уравнение \(x^3 - 4x^2 - 9x + 36 = 0\) с помощью вынесения общего множителя, мы сначала попробуем найти общий множитель в выражении.
Обратите внимание на то, что данный многочлен нельзя сразу упростить путем вынесения общего множителя. Тем не менее, давайте попробуем разложить его на множители.
Мы можем проверить, есть ли целые корни с использованием теоремы о делителях свободного члена. Алгебраически, целые корни могут быть среди делителей числа 36. Давайте подставим различные значения, чтобы найти корень равенства.
- Подставьте \(x = 2\): \[ 2^3 - 4(2^2) - 9(2) + 36 = 8 - 16 - 18 + 36 = 10 \quad (\text{не корень}) \]
- Подставьте \(x = 3\): \[ 3^3 - 4(3^2) - 9(3) + 36 = 27 - 36 - 27 + 36 = 0 \quad (\text{корень}) \]
Таким образом, \(x = 3\) является корнем уравнения. Теперь можно использовать его, чтобы разложить многочлен.
Применим деление многочленов для разложения \(x - 3\): \[ x^3 - 4x^2 - 9x + 36 = (x - 3)(Ax^2 + Bx + C) \]
Для нахождения \(A\), \(B\), и \(C\) давайте используем деление:
- Теперь произведем деление \(x^3 - 4x^2 - 9x + 36\) на \(x - 3\).
После деления мы получаем: \[ x^3 - 4x^2 - 9x + 36 = (x - 3)(x^2 - x - 12) \]
Теперь решим квадратное уравнение \(x^2 - x - 12 = 0\) с помощью дискриминанта: \[ D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 1 + 48 = 49 \] Корни находятся по формуле: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 \pm 7}{2} \] Это даёт корни: \[ x_1 = \frac{8}{2} = 4 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{-6}{2} = -3 \]
В итоге, полное решение уравнения: \[ x^3 - 4x^2 - 9x + 36 = 0 \implies (x - 3)(x - 4)(x + 3) = 0 \] Корни уравнения: \(x = 3\), \(x = 4\), \(x = -3\).
Если у вас есть дополнительные вопросы или что-то не ясно, не стесняйтесь спрашивать!
