25×0,2^2x-126×0,2^x+5⩽0
Чтобы решить неравенство \( 25 \times 0,2^{2x} - 126 \times 0,2^x + 5 \leq 0 \), начнем с упрощения.
Давайте введем замену: обозначим \( y = 0,2^x \). Тогда \( 0,2^{2x} = (0,2^x)^2 = y^2 \). Таким образом, наше неравенство преобразуется в:
\[ 25y^2 - 126y + 5 \leq 0. \]
Теперь мы можем решить это квадратное неравенство. Для начала найдем корни соответствующего уравнения:
\[ 25y^2 - 126y + 5 = 0. \]
С использованием формулы для нахождения корней квадратного уравнения \( ax^2 + bx + c = 0 \):
\[ y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}, \]
где \( a = 25 \), \( b = -126 \), \( c = 5 \).
Вычислим дискриминант:
\[ D = (-126)^2 - 4 \cdot 25 \cdot 5 = 15876 - 500 = 15376. \]
Теперь найдем корни:
\[ y = \frac{126 \pm \sqrt{15376}}{50}. \]
Вычисляем \(\sqrt{15376}\):
\[ \sqrt{15376} \approx 123.90. \]
Теперь подставим в формулу:
\[ y_1 = \frac{126 + 123.90}{50}, \] \[ y_2 = \frac{126 - 123.90}{50}. \]
Посчитаем:
\[ y_1 \approx \frac{249.90}{50} \approx 4.998, \] \[ y_2 \approx \frac{2.10}{50} \approx 0.042. \]
Теперь у нас есть два корня: \( y_1 \approx 5 \) и \( y_2 \approx 0.042 \).
Значит, мы можем записать неравенство:
\[ 25y^2 - 126y + 5 \leq 0 \]
проверяя, между какими корнями оно выполняется. Неравенство будет выполняться между корнями, то есть:
\[ 0.042 \leq y \leq 4.998. \]
Теперь вернемся к замене \( y = 0,2^x \). Мы знаем, что \( 0,2^x \) всегда положительно, поэтому мы рассматриваем только числовое неравенство:
- \( 0.2^x \geq 0.042 \)
- \( 0.2^x \leq 4.998 \) (это неравенство всегда истинно для всех x).
Решим первое неравенство:
\[ 0.2^x \geq 0.042 \]
Заметим, что \( 0,2 = 2^{-1} \), поэтому:
\[ 2^{-x} \geq 0.042. \]
Применим логарифмы (по основанию 2):
\[ -x \log_2(2) \geq \log_2(0.042), \]
где \( \log_2(2) = 1 \):
\[ -x \geq \log_2(0.042), \]
Поэтому:
\[ x \leq -\log_2(0.042). \]
Находим значение логарифма:
\[ \log_2(0.042) \approx -4.81 \]
Значит, неравенство:
\[ x \leq 4.81. \]
Таким образом, решение неравенства \( 25 \times 0,2^{2x} - 126 \times 0,2^x + 5 \leq 0 \) в интервале:
\[ x \leq 4.81. \]
Это решение показывает, какие значения \( x \) удовлетворяют данному неравенству. Если у вас есть дополнительные вопросы, напишите!
