Если зависимость радиус-вектора частицы от времени имеет вид overline r (t)=4 t ^ 3 vec i +3t^ 2 vec j +2t vec k (м), то проекция ускорения частицы на ось ах в момент времени…

Чтобы найти проекцию ускорения частицы на ось \( x \) в момент времени \( t_1 = 1 \) с, начнем с определения радиус-вектора частицы:

\[ \overline{r}(t) = 4t^3 \vec{i} + 3t^2 \vec{j} + 2t \vec{k} \]

Находим скорость частицы, взяв производную радиус-вектора по времени \( t \):

\[ \overline{v}(t) = \frac{d\overline{r}}{dt} = \frac{d}{dt}(4t^3) \vec{i} + \frac{d}{dt}(3t^2) \vec{j} + \frac{d}{dt}(2t) \vec{k} \]

Вычисляя производные, получаем:

\[ \overline{v}(t) = 12t^2 \vec{i} + 6t \vec{j} + 2 \vec{k} \]

Теперь находим ускорение, взяв производную от скорости:

\[ \overline{a}(t) = \frac{d\overline{v}}{dt} = \frac{d}{dt}(12t^2) \vec{i} + \frac{d}{dt}(6t) \vec{j} + \frac{d}{dt}(2) \vec{k} \]

Вычисляя производные, получаем:

\[ \overline{a}(t) = 24t \vec{i} + 6 \vec{j} + 0 \vec{k} \]

Теперь подставим значение \( t = 1 \) с:

\[ \overline{a}(1) = 24 \cdot 1 \vec{i} + 6 \vec{j} + 0 \vec{k} = 24 \vec{i} + 6 \vec{j} \]

Проекция ускорения на ось \( x \) равна коэффициенту при \( \vec{i} \):

\[ a_x(1) = 24 \, \text{м/с}^2 \]

Таким образом, проекция ускорения частицы на ось \( x \) в момент времени \( t_1 = 1 \) с будет равна 24 м/с².