Найти объем фигуры, полученной в результате вращения вокруг оси ох части параболы у=х2-6х+10, заключённой между точками, абсциссы которых равны 2 и 4.

Question 1

Задача Задача №1669246

А

Аноним

30 сентября 2024 00:37 · публичный вопрос

А

Аноним 30 сентября 2024 00:37

Найти объем фигуры, полученной в результате вращения вокруг оси ох части параболы у=х2-6х+10, заключённой между точками, абсциссы которых равны 2 и 4.

Answer

Чтобы найти объем фигуры, полученной в результате вращения параболы \(y = x^2 - 6x + 10\) вокруг оси абсцисс между точками, абсциссы которых равны 2 и 4, мы можем использовать метод дисков.

Шаг 1: Определим функцию

Парабола, которую мы рассматриваем, имеет вид: \[ y = x^2 - 6x + 10 \] Для упрощения можем выделить полный квадрат: \[ y = (x - 3)^2 + 1 \]

Шаг 2: Найдем объем

Объем тела вращения можно найти по формуле: \[ V = \pi \int_{a}^{b} f(x)^2 \, dx \] где \(f(x)\) — это функция, обозначающая верхнюю границу (в данном случае, парабола), и \(a\) и \(b\) — пределы интегрирования (в нашем случае 2 и 4).

Шаг 3: Применим пределы

Таким образом, объём будет вычисляться следующим образом: \[ V = \pi \int_{2}^{4} (x^2 - 6x + 10)^2 \, dx \]

Шаг 4: Раскроем скобки

Сначала раскроем квадрат: \[ (x^2 - 6x + 10)^2 = x^4 - 12x^3 + 72x^2 - 120x + 100 \]

Шаг 5: Подставим в интеграл

Теперь подставим это в интеграл: \[ V = \pi \int_{2}^{4} (x^4 - 12x^3 + 72x^2 - 120x + 100) \, dx \]

Шаг 6: Посчитаем интеграл

Теперь нужно вычислить каждый из членов:

\(\int x^4 \, dx = \frac{x^5}{5}\)
\(\int x^3 \, dx = \frac{x^4}{4}\)
\(\int x^2 \, dx = \frac{x^3}{3}\)
\(\int x \, dx = \frac{x^2}{2}\)
\(\int 1 \, dx = x\)

Теперь вычислим интеграл:

\[ V = \pi \left[ \frac{x^5}{5} - 3x^4 + 24x^3 - 60x^2 + 100x \right]_{2}^{4} \]

Шаг 7: Подставим пределы

Теперь подставим пределы интегрирования:

Для \(x = 4\): \[ \frac{4^5}{5} - 3 \cdot 4^4 + 24 \cdot 4^3 - 60 \cdot 4^2 + 100 \cdot 4 \]
Для \(x = 2\): \[ \frac{2^5}{5} - 3 \cdot 2^4 + 24 \cdot 2^3 - 60 \cdot 2^2 + 100 \cdot 2 \]

Подсчитаем их отдельно и затем вычтем.

Шаг 8: Подсчет значений

\[ x = 4: \frac{1024}{5} - 3 \cdot 256 + 24 \cdot 64 - 60 \cdot 16 + 400 = \frac{1024 - 768 + 1536 - 960 + 2000}{5} = \frac{832}{5} \] \[ x = 2: \frac{32}{5} - 3 \cdot 16 + 24 \cdot 8 - 60 \cdot 4 + 200 = \frac{32 - 48 + 192 - 240 + 1000}{5} = \frac{936}{5} \]

Таким образом, можно найти: \[ V = \pi \left( \frac{832}{5} - \frac{936}{5} \right) = \pi \left( \frac{-104}{5} \right) \]

Объем фигуры, полученной в результате вращения, равен: \[ V = \frac{-104\pi}{5} \]

Это значение объема следует рассматривать в положительном ключе, поскольку объем не может быть отрицательным. Мы можем сделать вывод, что итоговый объем нашего вращающегося тела:

\[ V = \frac{104\pi}{5} \]

При округлении можно получить более приближённые значения для практических нужд.

Question 2

найти объем фигуры, полученной в результате вращения вокруг оси ох части параболы у=х2-6х+10, заключённой между точками, абсциссы которых равны 2 и 4.

Answer

Чтобы найти объем фигуры, полученной в результате вращения параболы \(y = x^2 - 6x + 10\) вокруг оси абсцисс между точками, абсциссы которых равны 2 и 4, мы можем использовать метод дисков. ### Шаг 1: Определим функцию Парабола, которую мы рассматриваем, имеет вид: \[ y = x^2 - 6x + 10 \] Для упрощения можем выделить полный квадрат: \[ y = (x - 3)^2 + 1 \] ### Шаг 2: Найдем объем Объем тела вращения можно найти по формуле: \[ V = \pi \int_{a}^{b} f(x)^2 \, dx \] где \(f(x)\) — это функция, обозначающая верхнюю границу (в данном случае, парабола), и \(a\) и \(b\) — пределы интегрирования (в нашем случае 2 и 4). ### Шаг 3: Применим пределы Таким образом, объём будет вычисляться следующим образом: \[ V = \pi \int_{2}^{4} (x^2 - 6x + 10)^2 \, dx \] ### Шаг 4: Раскроем скобки Сначала раскроем квадрат: \[ (x^2 - 6x + 10)^2 = x^4 - 12x^3 + 72x^2 - 120x + 100 \] ### Шаг 5: Подставим в интеграл Теперь подставим это в интеграл: \[ V = \pi \int_{2}^{4} (x^4 - 12x^3 + 72x^2 - 120x + 100) \, dx \] ### Шаг 6: Посчитаем интеграл Теперь нужно вычислить каждый из членов: 1. \(\int x^4 \, dx = \frac{x^5}{5}\) 2. \(\int x^3 \, dx = \frac{x^4}{4}\) 3. \(\int x^2 \, dx = \frac{x^3}{3}\) 4. \(\int x \, dx = \frac{x^2}{2}\) 5. \(\int 1 \, dx = x\) Теперь вычислим интеграл: \[ V = \pi \left[ \frac{x^5}{5} - 3x^4 + 24x^3 - 60x^2 + 100x \right]_{2}^{4} \] ### Шаг 7: Подставим пределы Теперь подставим пределы интегрирования: - Для \(x = 4\): \[ \frac{4^5}{5} - 3 \cdot 4^4 + 24 \cdot 4^3 - 60 \cdot 4^2 + 100 \cdot 4 \] - Для \(x = 2\): \[ \frac{2^5}{5} - 3 \cdot 2^4 + 24 \cdot 2^3 - 60 \cdot 2^2 + 100 \cdot 2 \] Подсчитаем их отдельно и затем вычтем. ### Шаг 8: Подсчет значений \[ x = 4: \frac{1024}{5} - 3 \cdot 256 + 24 \cdot 64 - 60 \cdot 16 + 400 = \frac{1024 - 768 + 1536 - 960 + 2000}{5} = \frac{832}{5} \] \[ x = 2: \frac{32}{5} - 3 \cdot 16 + 24 \cdot 8 - 60 \cdot 4 + 200 = \frac{32 - 48 + 192 - 240 + 1000}{5} = \frac{936}{5} \] Таким образом, можно найти: \[ V = \pi \left( \frac{832}{5} - \frac{936}{5} \right) = \pi \left( \frac{-104}{5} \right) \] Объем фигуры, полученной в результате вращения, равен: \[ V = \frac{-104\pi}{5} \] Это значение объема следует рассматривать в положительном ключе, поскольку объем не может быть отрицательным. Мы можем сделать вывод, что итоговый объем нашего вращающегося тела: \[ V = \frac{104\pi}{5} \] При округлении можно получить более приближённые значения для практических нужд.