Найти объём фигуры, полученной в результате вращения вокруг оси Ох части параболы у= х?-6х+10, заключённой между точками, абсциссы которых равны 2 и4.

Question 1

Задача Задача №1669249

А

Аноним

30 сентября 2024 00:41 · публичный вопрос

А

Аноним 30 сентября 2024 00:41

Найти объём фигуры, полученной в результате вращения вокруг оси Ох части параболы у= х?-6х+10, заключённой между точками, абсциссы которых равны 2 и4.

Answer

Чтобы найти объём фигуры, полученной в результате вращения вокруг оси OX части параболы \( y = x^2 - 6x + 10 \), заключённой между точками абсциссы \( x = 2 \) и \( x = 4 \), воспользуемся методом дисков.

Определим функцию: Парабола имеет вид \( y = x^2 - 6x + 10 \). Для определения объёма вращения нам понадобится эта функция.
Вычислим объём: Объём фигуры вращения можно найти по формуле: \[ V = \pi \int_{a}^{b} [f(x)]^2 \, dx \] где \( f(x) \) — это наша функция, а \( [f(x)]^2 \) — квадрат функции.

В данном случае \( a = 2 \) и \( b = 4 \). Подставим функцию: \[ V = \pi \int_{2}^{4} (x^2 - 6x + 10)^2 \, dx \]
Раскроем квадрат: \[ (x^2 - 6x + 10)^2 = x^4 - 12x^3 + 72x^2 - 120x + 100 \]
Интегрируем: Теперь вычисляем интеграл: \[ V = \pi \int_{2}^{4} (x^4 - 12x^3 + 72x^2 - 120x + 100) \, dx \]

Найдём отдельные интегралы: \[ V = \pi \left[ \frac{x^5}{5} - 3x^4 + 24x^3 - 60x^2 + 100x \right]_{2}^{4} \]
Подставим пределы: Сначала находим \( F(4) \): \[ F(4) = \frac{4^5}{5} - 3(4^4) + 24(4^3) - 60(4^2) + 100(4) \] \[ = \frac{1024}{5} - 3(256) + 24(64) - 60(16) + 400 \] \[ = \frac{1024}{5} - 768 + 1536 - 960 + 400 \] Переведем все в одну дробь: \[ = \frac{1024 - 3840 + 7680 - 4800 + 2000}{5} = \frac{1024 + 3840 + 2000 - 4800}{5} = \frac{4064}{5} \]

Теперь вычисляем \( F(2) \): \[ F(2) = \frac{2^5}{5} - 3(2^4) + 24(2^3) - 60(2^2) + 100(2) \] \[ = \frac{32}{5} - 3(16) + 24(8) - 60(4) + 200 \] \[ = \frac{32}{5} - 48 + 192 - 240 + 200 \] Подсчитаем: \[ = \frac{32 - 240 + 960 - 240 + 1000}{5} = \frac{512}{5} \]
Вычислим объём: Тогда объём будет равен: \[ V = \pi \left( F(4) - F(2) \right) = \pi \left( \frac{4064}{5} - \frac{512}{5} \right) \] \[ = \pi \left( \frac{3552}{5} \right) \]

Итак, окончательный ответ: \[ V = \frac{3552\pi}{5} \]

Таким образом, объём фигуры, полученной в результате вращения указанной части параболы вокруг оси OX, равен \( \frac{3552\pi}{5} \) кубических единиц.

Question 2

Найти объём фигуры, полученной в результате вращения вокруг оси Ох части параболы у= х?-6х+10, заключённой между точками, абсциссы которых равны 2 и4.

Answer

Чтобы найти объём фигуры, полученной в результате вращения вокруг оси OX части параболы \( y = x^2 - 6x + 10 \), заключённой между точками абсциссы \( x = 2 \) и \( x = 4 \), воспользуемся методом дисков. 1. **Определим функцию**: Парабола имеет вид \( y = x^2 - 6x + 10 \). Для определения объёма вращения нам понадобится эта функция. 2. **Вычислим объём**: Объём фигуры вращения можно найти по формуле: \[ V = \pi \int_{a}^{b} [f(x)]^2 \, dx \] где \( f(x) \) — это наша функция, а \( [f(x)]^2 \) — квадрат функции. В данном случае \( a = 2 \) и \( b = 4 \). Подставим функцию: \[ V = \pi \int_{2}^{4} (x^2 - 6x + 10)^2 \, dx \] 3. **Раскроем квадрат**: \[ (x^2 - 6x + 10)^2 = x^4 - 12x^3 + 72x^2 - 120x + 100 \] 4. **Интегрируем**: Теперь вычисляем интеграл: \[ V = \pi \int_{2}^{4} (x^4 - 12x^3 + 72x^2 - 120x + 100) \, dx \] Найдём отдельные интегралы: \[ V = \pi \left[ \frac{x^5}{5} - 3x^4 + 24x^3 - 60x^2 + 100x \right]_{2}^{4} \] 5. **Подставим пределы**: Сначала находим \( F(4) \): \[ F(4) = \frac{4^5}{5} - 3(4^4) + 24(4^3) - 60(4^2) + 100(4) \] \[ = \frac{1024}{5} - 3(256) + 24(64) - 60(16) + 400 \] \[ = \frac{1024}{5} - 768 + 1536 - 960 + 400 \] Переведем все в одну дробь: \[ = \frac{1024 - 3840 + 7680 - 4800 + 2000}{5} = \frac{1024 + 3840 + 2000 - 4800}{5} = \frac{4064}{5} \] Теперь вычисляем \( F(2) \): \[ F(2) = \frac{2^5}{5} - 3(2^4) + 24(2^3) - 60(2^2) + 100(2) \] \[ = \frac{32}{5} - 3(16) + 24(8) - 60(4) + 200 \] \[ = \frac{32}{5} - 48 + 192 - 240 + 200 \] Подсчитаем: \[ = \frac{32 - 240 + 960 - 240 + 1000}{5} = \frac{512}{5} \] 6. **Вычислим объём**: Тогда объём будет равен: \[ V = \pi \left( F(4) - F(2) \right) = \pi \left( \frac{4064}{5} - \frac{512}{5} \right) \] \[ = \pi \left( \frac{3552}{5} \right) \] Итак, окончательный ответ: \[ V = \frac{3552\pi}{5} \] Таким образом, объём фигуры, полученной в результате вращения указанной части параболы вокруг оси OX, равен \( \frac{3552\pi}{5} \) кубических единиц.