T⁴-2t2-3 =0

Чтобы решить уравнение \( t^4 - 2t^2 - 3 = 0 \), мы можем начать с замены переменной, чтобы упростить уравнение. Заметим, что \( t^4 \) можно записать как \( (t^2)^2 \). Таким образом, введем новую переменную:

Пусть \( x = t^2 \). Тогда уравнение принимает следующий вид:

\[ x^2 - 2x - 3 = 0. \]

Теперь мы можем решить это квадратное уравнение с помощью формулы корней:

\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}, \]

где \( a = 1 \), \( b = -2 \) и \( c = -3 \).

Подставим значения:

\[ x = \frac{-(-2) \pm \sqrt{(-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3)}}{2 \cdot 1}. \]

Это упростится до:

\[ x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 12}}{2}, \] \[ x = \frac{2 \pm \sqrt{16}}{2}, \] \[ x = \frac{2 \pm 4}{2}. \]

Теперь найдем два значения для \( x \):

1. \( x = \frac{6}{2} = 3, \)
2. \( x = \frac{-2}{2} = -1. \)

Теперь, так как мы вернулись к переменной \( t \), вспомним, что \( x = t^2 \). Подставим обратно:

1. Для \( x = 3 \):

\[ t^2 = 3 \Rightarrow t = \sqrt{3} \text{ или } t = -\sqrt{3}. \]

2. Для \( x = -1 \):

\[ t^2 = -1 \text{ не имеет вещественных решений, но имеет комплексные: } t = i \text{ и } t = -i. \]

Таким образом, окончательные решения уравнения \( t^4 - 2t^2 - 3 = 0 \) следующие:

\[ t = \sqrt{3}, \; t = -\sqrt{3}, \; t = i, \; t = -i. \]